Diberikan bahwa titik-titik $P$, $Q$, dan $R$ tidak terletak pada garis lurus yang sama, dengan vektor-vektor kedudukan relatif terhadap titik asal $O$ adalah $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, dan $\mathbf{c}$, kita diminta untuk membuktikan bahwa vektor $\mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{c} + \mathbf{c} \times \mathbf{a}$ adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh titik $P$, $Q$, dan $R$.

Mari kita buktikan langkah demi langkah:

1. Definisi Awal

Kita memiliki tiga titik:

• $P$ dengan vektor posisi $\mathbf{a}$
• $Q$ dengan vektor posisi $\mathbf{b}$
• $R$ dengan vektor posisi $\mathbf{c}$

Bidang yang dibentuk oleh titik-titik $P$, $Q$, dan $R$ dinyatakan oleh dua vektor yang terletak dalam bidang tersebut, misalnya:

• $\mathbf{v_1} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (vektor dari $P$ ke $Q$)
• $\mathbf{v_2} = \mathbf{c} - \mathbf{a}$ (vektor dari $P$ ke $R$)

Vektor normal dari bidang ini adalah hasil perkalian silang dua vektor dalam bidang tersebut, yaitu: $\mathbf{n} = (\mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{a})$

2. Analisis Vektor $\mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{c} + \mathbf{c} \times \mathbf{a}$

Sekarang, kita analisis vektor $\mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{c} + \mathbf{c} \times \mathbf{a}$.

Kita menggunakan sifat distributif dari perkalian silang: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{c} + \mathbf{c} \times \mathbf{a} = (\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}) \times (\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c})$ Tetapi karena hasil perkalian silang dari dua vektor yang sama selalu nol, kita mendapatkan bahwa vektor ini bersifat seperti (