Jika titik-titik 𝑃,𝑄, dan 𝑅 semuanya tidak terletak dalam garis lurus yang sama dan vektor-vektor kedudukannya relatif terhadap titik asal adalah 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 maka perlihatkan bahwa 
𝑎 × 𝑏 + 𝑏 × 𝑐 + 𝑐 × 𝑎 adalah sebuah vektor yang tegak lurus bidang 𝑃,𝑄 dan R

Diberikan bahwa titik-titik \( P \), \( Q \), dan \( R \) tidak terletak pada garis lurus yang sama, dengan vektor-vektor kedudukan relatif terhadap titik asal \( O \) adalah \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \), dan \( \mathbf{c} \), kita diminta untuk membuktikan bahwa vektor \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{c} + \mathbf{c} \times \mathbf{a} \) adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh titik \( P \), \( Q \), dan \( R \).

Mari kita buktikan langkah demi langkah:

### 1. Definisi Awal
Kita memiliki tiga titik:
- \( P \) dengan vektor posisi \( \mathbf{a} \)
- \( Q \) dengan vektor posisi \( \mathbf{b} \)
- \( R \) dengan vektor posisi \( \mathbf{c} \)

Bidang yang dibentuk oleh titik-titik \( P \), \( Q \), dan \( R \) dinyatakan oleh dua vektor yang terletak dalam bidang tersebut, misalnya:
- \( \mathbf{v_1} = \mathbf{b} - \mathbf{a} \) (vektor dari \( P \) ke \( Q \))
- \( \mathbf{v_2} = \mathbf{c} - \mathbf{a} \) (vektor dari \( P \) ke \( R \))

Vektor normal dari bidang ini adalah hasil perkalian silang dua vektor dalam bidang tersebut, yaitu:
\[
\mathbf{n} = (\mathbf{b} - \mathbf{a}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{a})
\]

### 2. Analisis Vektor \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{c} + \mathbf{c} \times \mathbf{a} \)

Sekarang, kita analisis vektor \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{c} + \mathbf{c} \times \mathbf{a} \).

Kita menggunakan sifat distributif dari perkalian silang:
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{c} + \mathbf{c} \times \mathbf{a} = (\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}) \times (\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c})
\]
Tetapi karena hasil perkalian silang dari dua vektor yang sama selalu nol, kita mendapatkan bahwa vektor ini bersifat seperti \( 

Jika titik-titik 𝑃,𝑄, dan 𝑅 semuanya tidak terletak dalam garis lurus yang sama dan vektor-vektor kedudukannya relatif terhadap titik asal adalah 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 maka perlihatkan bahwa 𝑎 × 𝑏 + 𝑏 × 𝑐 + 𝑐 × 𝑎 adalah sebuah vektor yang tegak lurus bidang 𝑃,𝑄 dan R

Explore how to prove that the vector a × b + b × c + c × a is perpendicular to the plane formed by the points P, Q, and R using vector algebra and the properties of the cross product. Ideal for advanced high school or undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation