Pour répondre à la question a), montrant que le triangle $A'O'B'$ est rectangle, voici les étapes :

Étape 1 : Identifier les éléments géométriques

1. $(C)$ est un cercle de diamètre $[AB]$.
   • Le centre $O$ est également le centre du cercle.
   • Le point $M$ est un point quelconque sur ce cercle.
2. Les tangentes à $(C)$ en $A$ et $M$ se coupent en $A'$.
3. Les tangentes à $(C)$ en $B$ et $M$ se coupent en $B'$.

Étape 2 : Propriété clé utilisée

La propriété clé est que les tangentes à un cercle sont perpendiculaires au rayon passant par le point de tangence. Ainsi :

• Les tangentes en $A$ et $B$ sont perpendiculaires aux rayons $[OA]$ et $[OB]$.
• De plus, les tangentes en $M$ sont perpendiculaires au rayon $[OM]$.

Étape 3 : Montrer que le triangle $A'O'B'$ est rectangle

1. Observation de la configuration :

   • Le point $O$ est le centre du cercle et appartient à $[AB]$.
   • Les segments $[OA]$ et $[OB]$ sont des rayons perpendiculaires aux tangentes respectives à $(C)$ en $A$ et $B$.

2. Orthogonalité :

   • Les tangentes en $A$ et $B$ sont respectivement orthogonales à $[OA]$ et $[OB]$. Par conséquent, les lignes des tangentes forment un angle droit en $O'$.
   • Par construction, les tangentes formant $A'$ et $B'$ maintiennent cette orthogonalité. Donc $A'O'B'$ est rectangle en $O'$.

Conclusion :

Le triangle $A'O'B'$ est rectangle en $O'$ car les tangentes en $A$, $B$, et $M$ respectent les propriétés d'orthogonalité avec les rayons respectifs.

Voulez-vous des détails supplémentaires ou une explication pour les autres parties ? Voici des questions pour approfondir :

1. Pourquoi les tangentes à un cercle sont-elles toujours perpendiculaires au rayon ?
2. Comment déterminer si un triangle est rectangle uniquement à partir de ses angles ?
3. Quels autres résultats peut-on démontrer à partir des propriétés des tangentes ?
4. Comment visualiser la configuration $A'O'B'$ dans un logiciel de géométrie dynamique ?
5. Quelle est l'importance des milieux des segments dans la partie c) ?

Astuce : Pour bien visualiser les relations entre tangentes et rayons, utilisez une figure dynamique sur un logiciel comme GeoGebra.