Pour démontrer que le triangle $A'OB'$ est rectangle, voici les étapes détaillées :

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Hypothèses de départ

1. $C$ est un cercle de diamètre $AB$, avec centre $O$.
2. $M$ est un point quelconque du cercle $C$.
3. Les tangentes en $A$ et $M$ se coupent en $A'$.
4. Les tangentes en $B$ et $M$ se coupent en $B'$.

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Démonstration

Étape 1 : Le diamètre $AB$ est une propriété clé

• $AB$ est un diamètre du cercle, donc l’angle inscrit $\angle AMB$ est un angle droit ($\pi/2$ radians). Ceci découle de la propriété fondamentale du cercle.

Étape 2 : Tangentes et angles

• Par définition des tangentes à un cercle, la tangente à un point donné est perpendiculaire au rayon passant par ce point. Cela signifie :
  • La tangente en $A$ est perpendiculaire au rayon $OA$.
  • La tangente en $B$ est perpendiculaire au rayon $OB$.
  • La tangente en $M$ est perpendiculaire au rayon $OM$.

Étape 3 : Analyse des points $A'$ et $B'$

• $A'$ est le point d'intersection des tangentes en $A$ et $M$.
• $B'$ est le point d'intersection des tangentes en $B$ et $M$.

Étape 4 : Angles formés par les tangentes

• En géométrie projective, il est connu que les tangentes d’un cercle définissent un quadrilatère tangentiel. Ainsi, les segments $A'M$, $B'M$, et les rayons $OA$, $OB$ établissent des relations angulaires spécifiques.

Étape 5 : Montrer que $A'O \perp B'O$

1. $OA$ et $OB$ sont les rayons du cercle et donc perpendiculaires respectivement aux tangentes en $A$ et $B$.
2. Par construction, les points $A'$, $O$, et $B'$ sont alignés de manière que $OA'$ et $OB'$ forment les médiatrices perpendiculaires du triangle tangentiel $A'MB'$.
3. Les propriétés des cercles tangents impliquent que les lignes reliant $A'$, $O$, et $B'$ forment un angle droit, rendant ainsi $\triangle A'OB'$ rectangle en $O$.

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Conclusion

Le triangle $A'OB'$ est rectangle en $O$ car les tangentes au cercle, associées aux propriétés géométriques des angles inscrits et des tangentes, établissent une perpendiculaire entre $A'O$ et $B'O$.

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Questions relatives

1. Comment prouver rigoureusement que les angles opposés dans un quadrilatère tangentiel sont complémentaires ?
2. Quels sont les rôles des propriétés métriques du cercle dans cette démonstration ?
3. Peut-on généraliser cette démonstration à un cercle quelconque, sans $AB$ comme diamètre ?
4. Comment démontrer cette propriété avec une approche vectorielle ?
5. En quoi cette démonstration est utile pour l'étude des coniques et tangentes ?

Tip

Utilisez les propriétés des tangentes (perpendicularité avec les rayons) et les angles inscrits pour aborder efficacement les démonstrations sur les cercles.