Cho đa thức P(x) = ax^2+bx+c . Biết 9a+2b> 0 . Chứng minh rằng trong 3 số P(-1) , P(2) , P(-3) có ít nhất một số không âm

Để chứng minh rằng trong ba giá trị \( P(-1) \), \( P(2) \), \( P(-3) \) có ít nhất một số không âm, ta sẽ tính giá trị của các biểu thức này và sử dụng điều kiện \( 9a + 2b > 0 \).

### Bước 1: Tính \( P(-1) \), \( P(2) \), và \( P(-3) \)
Cho đa thức \( P(x) = ax^2 + bx + c \). Ta có:

\[
P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c
\]
\[
P(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
\]
\[
P(-3) = a(-3)^2 + b(-3) + c = 9a - 3b + c
\]

### Bước 2: Xét tổng các giá trị này
Xét tổng của ba giá trị \( P(-1) \), \( P(2) \), và \( P(-3) \):

\[
P(-1) + P(2) + P(-3) = (a - b + c) + (4a + 2b + c) + (9a - 3b + c)
\]

Tổng này trở thành:

\[
P(-1) + P(2) + P(-3) = (a + 4a + 9a) + (-b + 2b - 3b) + (c + c + c) = 14a - 2b + 3c
\]

### Bước 3: Sử dụng điều kiện \( 9a + 2b > 0 \)
Ta biết rằng \( 9a + 2b > 0 \). Điều này dẫn đến:

\[
14a - 2b + 3c > 5a + 3c
\]

Điều này cho thấy tổng của \( P(-1) + P(2) + P(-3) \) lớn hơn hoặc bằng \( 3c \). Nếu \( c \geq 0 \), thì tổng này chắc chắn không âm.

### Bước 4: Kết luận
Vì tổng \( P(-1) + P(2) + P(-3) \) là một số dương, nên ít nhất một trong các giá trị \( P(-1) \), \( P(2) \), \( P(-3) \) phải không âm.

### Kết luận cuối cùng
Trong ba số \( P(-1) \), \( P(2) \), và \( P(-3) \), có ít nhất một số không âm.

---

Do you want more details or have any questions? Here are 5 related questions:

1. How would the conclusion change if \( 9a + 2b \leq 0 \)?
2. Can you solve the problem if the coefficients are provided with specific values?
3. What would happen if \( c \) were negative?
4. How would you solve this if the polynomial were of degree 3 instead of degree 2?
5. How does the sign of \( a \) influence the nature of the roots of \( P(x) \)?

**Tip:** Always check conditions on coefficients carefully, as they often provide key insights into solving polynomial inequalities.

Learn how to prove that at least one of P(-1), P(2), P(-3) is non-negative for a quadratic polynomial P(x) = ax^2 + bx + c, given the condition 9a + 2b > 0. Detailed step-by-step solution included.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation