Để chứng minh rằng trong ba giá trị $P(-1)$, $P(2)$, $P(-3)$ có ít nhất một số không âm, ta sẽ tính giá trị của các biểu thức này và sử dụng điều kiện $9a + 2b > 0$.

Bước 1: Tính $P(-1)$, $P(2)$, và $P(-3)$

Cho đa thức $P(x) = ax^2 + bx + c$. Ta có:

$P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$ $P(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$ $P(-3) = a(-3)^2 + b(-3) + c = 9a - 3b + c$

Bước 2: Xét tổng các giá trị này

Xét tổng của ba giá trị $P(-1)$, $P(2)$, và $P(-3)$:

$P(-1) + P(2) + P(-3) = (a - b + c) + (4a + 2b + c) + (9a - 3b + c)$

Tổng này trở thành:

$P(-1) + P(2) + P(-3) = (a + 4a + 9a) + (-b + 2b - 3b) + (c + c + c) = 14a - 2b + 3c$

Bước 3: Sử dụng điều kiện $9a + 2b > 0$

Ta biết rằng $9a + 2b > 0$. Điều này dẫn đến:

$14a - 2b + 3c > 5a + 3c$

Điều này cho thấy tổng của $P(-1) + P(2) + P(-3)$ lớn hơn hoặc bằng $3c$. Nếu $c \geq 0$, thì tổng này chắc chắn không âm.

Bước 4: Kết luận

Vì tổng $P(-1) + P(2) + P(-3)$ là một số dương, nên ít nhất một trong các giá trị $P(-1)$, $P(2)$, $P(-3)$ phải không âm.

Kết luận cuối cùng

Trong ba số $P(-1)$, $P(2)$, và $P(-3)$, có ít nhất một số không âm.

---

Do you want more details or have any questions? Here are 5 related questions:

1. How would the conclusion change if $9a + 2b \leq 0$?
2. Can you solve the problem if the coefficients are provided with specific values?
3. What would happen if $c$ were negative?
4. How would you solve this if the polynomial were of degree 3 instead of degree 2?
5. How does the sign of $a$ influence the nature of the roots of $P(x)$?

Tip: Always check conditions on coefficients carefully, as they often provide key insights into solving polynomial inequalities.