Untuk membuktikan bahwa $f(x, y)$ adalah fungsi densitas probabilitas bersama untuk variabel acak kontinu $X$ dan $Y$, kita harus memenuhi dua syarat:

1. Syarat Non-negatif: $f(x, y) \geq 0$ untuk semua $x$ dan $y$.
2. Syarat Integrasi Total: Integral dari $f(x, y)$ di seluruh domain $X$ dan $Y$ harus sama dengan 1, yaitu $\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \, dx \, dy = 1.$

Langkah 1: Cek Non-negatif

Dari soal, diketahui: $f(x, y) = \frac{2}{5}(2x + 3y)$ dengan batas $0 \leq x < 1$ dan $0 \leq y \leq 1$. Karena $x$ dan $y$ berada di dalam interval [0,1], nilai $2x + 3y$ juga akan positif atau nol dalam interval ini. Karena koefisien $\frac{2}{5}$ juga positif, maka $f(x, y) \geq 0$ untuk $x$ dan $y$ dalam interval tersebut. Oleh karena itu, syarat non-negatif terpenuhi.

Langkah 2: Cek Integrasi Total

Sekarang, kita hitung integral dari $f(x, y)$ di seluruh domain untuk memastikan totalnya sama dengan 1: $\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^1 \frac{2}{5}(2x + 3y) \, dx \, dy.$

Mari kita selesaikan integral ini secara berurutan, mulai dari integral terhadap $x$.

$\int_0^1 \int_0^1 \frac{2}{5}(2x + 3y) \, dx \, dy = \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{2}{5}(2x + 3y) \, dx \right) dy.$

Hitung integral dalam terhadap $x$: $\int_0^1 \frac{2}{5}(2x + 3y) \, dx = \frac{2}{5} \int_0^1 (2x + 3y) \, dx.$ Pisahkan integral: $= \frac{2}{5} \left( \int_0^1 2x \, dx + \int_0^1 3y \, dx \right).$ Integralkan masing-masing bagian: [ = \frac{2}{5} \left( \left[ x^2 \right]_0^1 + 3y \left[ x \right]_0^1 \right). ] Substitusi batas-batasnya: $= \frac{2}{5} \left( 1 + 3y \cdot 1 \right) = \frac{2}{5} (1 + 3y) = \frac{2}{5} + \frac{6y}{5}.$

Sekarang kita integralkan hasil ini terhadap $y$: $\int_0^1 \left( \frac{2}{5} + \frac{6y}{5} \right) dy = \frac{2}{5} \int_0^1 1 \, dy + \frac{6}{5} \int_0^1 y \, dy.$ Integralkan masing-masing bagian: $= \frac{2}{5} \cdot y \Big|_0^1 + \frac{6}{5} \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_0^1.$ Substitusi batas-batasnya: $= \frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1.$

Kesimpulan

Karena $\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \, dx \, dy = 1$, maka $f(x, y)$ memenuhi syarat kedua sebagai fungsi densitas.

Dengan demikian, $f(x, y)$ adalah fungsi densitas probabilitas bersama untuk variabel acak kontinu $X$ dan $Y$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau memiliki pertanyaan lebih lanjut?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menentukan fungsi distribusi marginal dari $X$ atau $Y$ menggunakan $f(x, y)$?
2. Apa yang dimaksud dengan fungsi distribusi kumulatif (CDF) bersama, dan bagaimana cara menghitungnya untuk $X$ dan $Y$?
3. Bagaimana cara menghitung nilai harapan $E[X]$ dan $E[Y]$ menggunakan $f(x, y)$?
4. Apa perbedaan antara variabel acak kontinu dan variabel acak diskrit dalam konteks densitas probabilitas?
5. Bagaimana cara menentukan apakah $X$ dan $Y$ independen berdasarkan $f(x, y)$?

Tip: Untuk menguji apakah dua variabel acak kontinu $X$ dan $Y$ independen, periksa apakah fungsi densitas bersama $f(x, y)$ dapat dipecah menjadi produk dari fungsi densitas marginal $f_X(x)$ dan $f_Y(y)$.