Pour montrer que la fonction $g(x) = x^3 + 3x - 4$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, nous devons vérifier que sa dérivée est strictement positive sur tout $\mathbb{R}$.

1. Calcul de la dérivée de $g(x)$ :

La dérivée de $g(x)$, notée $g'(x)$, est donnée par : $g'(x) = 3x^2 + 3$

2. Étude du signe de $g'(x)$ :

Analysons le signe de $g'(x) = 3(x^2 + 1)$.

• $x^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
• Donc, $x^2 + 1 \geq 1$.
• Ainsi, $g'(x) = 3(x^2 + 1) \geq 3 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Cela prouve que $g'(x)$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc la fonction $g(x)$ est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$.

3. Tableau de variation de $g(x)$ :

Puisque $g(x)$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, cela signifie que $g(x)$ n'a pas de minimum ou maximum local. Voici le tableau de variation de $g(x)$ :

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$g'(x)$	$+$		$+$
$g(x)$	$\downarrow -\infty$		$\uparrow +\infty$

Ce tableau indique que la fonction croît continuellement de $-\infty$ vers $+\infty$.

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Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous d'autres questions ?
Voici 5 questions relatives au sujet abordé :

1. Comment déterminer le signe de la dérivée d'une fonction plus complexe ?
2. Quelle est la différence entre une fonction strictement croissante et une fonction croissante ?
3. Comment trouver les points d'inflexion d'une fonction ?
4. Que représente le tableau de variation dans l'étude des fonctions ?
5. Comment déterminer les extrema locaux d'une fonction ?

Tip : Pour savoir si une fonction est strictement croissante ou décroissante, il suffit d'étudier le signe de sa dérivée première sur l'intervalle considéré.