On a g(x)= x^^3+3x-4      Montrer que la fonction g est strictement croissante sur R et dresser son tableau de variation 

Pour montrer que la fonction \( g(x) = x^3 + 3x - 4 \) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), nous devons vérifier que sa dérivée est strictement positive sur tout \(\mathbb{R}\).

1. **Calcul de la dérivée de \( g(x) \) :**

La dérivée de \( g(x) \), notée \( g'(x) \), est donnée par :
\[
g'(x) = 3x^2 + 3
\]

2. **Étude du signe de \( g'(x) \) :**

Analysons le signe de \( g'(x) = 3(x^2 + 1) \).

- \( x^2 \geq 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
- Donc, \( x^2 + 1 \geq 1 \).
- Ainsi, \( g'(x) = 3(x^2 + 1) \geq 3 > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Cela prouve que \( g'(x) \) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\), donc la fonction \( g(x) \) est strictement croissante sur tout \(\mathbb{R}\).

3. **Tableau de variation de \( g(x) \) :**

Puisque \( g(x) \) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), cela signifie que \( g(x) \) n'a pas de minimum ou maximum local. Voici le tableau de variation de \( g(x) \) :

| \( x \)        | \(-\infty\)               |      | \(+\infty\)               |
|----------------|---------------------------|------|--------------------------|
| \( g'(x) \)    | \( + \)                   |      | \( + \)                  |
| \( g(x) \)     | \(\downarrow -\infty \)   |      | \(\uparrow +\infty \)    |

Ce tableau indique que la fonction croît continuellement de \(-\infty\) vers \( +\infty \).

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Voici 5 questions relatives au sujet abordé :

1. Comment déterminer le signe de la dérivée d'une fonction plus complexe ?
2. Quelle est la différence entre une fonction strictement croissante et une fonction croissante ?
3. Comment trouver les points d'inflexion d'une fonction ?
4. Que représente le tableau de variation dans l'étude des fonctions ?
5. Comment déterminer les extrema locaux d'une fonction ?

**Tip :** Pour savoir si une fonction est strictement croissante ou décroissante, il suffit d'étudier le signe de sa dérivée première sur l'intervalle considéré.

On a g(x)= x^3+3x-4 Montrer que la fonction g est strictement croissante sur R et dresser son tableau de variation

Discover how to prove that the function g(x) = x^3 + 3x - 4 is strictly increasing on all real numbers by calculating its derivative and analyzing its sign. This solution covers derivative concepts and provides a variation table showing how the function behaves. Ideal for students in Grades 11-12.

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