aを正の整数とする。a+1が３の倍数であるとき、a² ーa+1 は３の倍数であるが９の倍数ではないことを示せ

まず、条件として \( a + 1 \) が3の倍数であるとき、\( a \) は次のように表せます：

\[
a = 3k - 1
\]
（ただし、\( k \) は整数）。

このとき、与えられた式 \( a^2 - a + 1 \) を計算します。

### Step 1: 式を展開
\[
a^2 - a + 1 = (3k - 1)^2 - (3k - 1) + 1
\]

展開します：
\[
(3k - 1)^2 = 9k^2 - 6k + 1
\]
したがって、
\[
a^2 - a + 1 = (9k^2 - 6k + 1) - (3k - 1) + 1
\]
これを整理すると、
\[
= 9k^2 - 6k + 1 - 3k + 1 + 1
\]
\[
= 9k^2 - 9k + 3
\]

### Step 2: 3の倍数であることの確認
この式を3で割った余りを確認するために、3で割った場合を見ます。
\[
9k^2 - 9k + 3
\]
は9で割り切れる部分（\( 9k^2 - 9k \)）と、3で割ると余りが0になる項（3）があるため、全体は3の倍数です。

### Step 3: 9の倍数ではないことの確認
次に、この式が9の倍数でないことを確認します。式を9で割った余りを見ます：
\[
9k^2 - 9k + 3 = 9(k^2 - k) + 3
\]
この式は、9で割ったときに余りが3であるため、9の倍数ではありません。

### 結論
したがって、\( a^2 - a + 1 \) は3の倍数ですが、9の倍数ではありません。

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何か質問はありますか？また、詳細をお知りになりたい場合は教えてください！

次の関連する質問を考えてみましょう：
1. \( a + 2 \) が3の倍数である場合の \( a^2 - a + 1 \) の性質はどうなるか？
2. \( a^2 - a + 1 \) の一般的な性質について調べるにはどうすればよいか？
3. 他の数値に対して同様の性質を持つ関数はあるか？
4. 3や9以外の倍数に関しても同様の証明が可能か？
5. 同様の性質を持つ他の多項式の例を挙げよ。

**Tip**: 証明問題では、条件を満たす数値に対する具体例を用いると、式の性質をより直感的に理解できることがあります。

In this problem, we prove that a² - a + 1 is divisible by 3 but not by 9, given that a + 1 is a multiple of 3. This solution uses modular arithmetic and expands the expression to verify divisibility. Suitable for high school students studying algebra and number theory.

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