まず、条件として $a + 1$ が3の倍数であるとき、$a$ は次のように表せます：

$a = 3k - 1$ （ただし、$k$ は整数）。

このとき、与えられた式 $a^2 - a + 1$ を計算します。

Step 1: 式を展開

$a^2 - a + 1 = (3k - 1)^2 - (3k - 1) + 1$

展開します： $(3k - 1)^2 = 9k^2 - 6k + 1$ したがって、 $a^2 - a + 1 = (9k^2 - 6k + 1) - (3k - 1) + 1$ これを整理すると、 $= 9k^2 - 6k + 1 - 3k + 1 + 1$ $= 9k^2 - 9k + 3$

Step 2: 3の倍数であることの確認

この式を3で割った余りを確認するために、3で割った場合を見ます。 $9k^2 - 9k + 3$ は9で割り切れる部分（$9k^2 - 9k$）と、3で割ると余りが0になる項（3）があるため、全体は3の倍数です。

Step 3: 9の倍数ではないことの確認

次に、この式が9の倍数でないことを確認します。式を9で割った余りを見ます： $9k^2 - 9k + 3 = 9(k^2 - k) + 3$ この式は、9で割ったときに余りが3であるため、9の倍数ではありません。

結論

したがって、$a^2 - a + 1$ は3の倍数ですが、9の倍数ではありません。

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何か質問はありますか？また、詳細をお知りになりたい場合は教えてください！

次の関連する質問を考えてみましょう：

1. $a + 2$ が3の倍数である場合の $a^2 - a + 1$ の性質はどうなるか？
2. $a^2 - a + 1$ の一般的な性質について調べるにはどうすればよいか？
3. 他の数値に対して同様の性質を持つ関数はあるか？
4. 3や9以外の倍数に関しても同様の証明が可能か？
5. 同様の性質を持つ他の多項式の例を挙げよ。

Tip: 証明問題では、条件を満たす数値に対する具体例を用いると、式の性質をより直感的に理解できることがあります。