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Pour résoudre les questions sur la propriété du centre de gravité d'un triangle dans l'image, procédons étape par étape :

### 1) a. Justifier l'égalité \( AG = \frac{1}{3} AA' \)

Dans un triangle, le centre de gravité \( G \) est situé aux deux tiers de la médiane à partir de chaque sommet, c'est-à-dire que \( G \) divise chaque médiane en deux segments dans un rapport de 2:1. Si \( A' \) est le milieu de \( BC \), alors la médiane \( AA' \) relie \( A \) à \( A' \), et le centre de gravité \( G \) se trouve à \( \frac{1}{3} \) de la longueur totale de \( AA' \) en partant de \( A' \).

Ainsi, \( AG = \frac{1}{3} AA' \) est directement lié à la propriété du centre de gravité qui divise chaque médiane en un rapport 2:1. 

#### En déduire la valeur du nombre \( k \) tel que \( \overrightarrow{GA} = k \overrightarrow{GA'} \)

Puisque \( G \) divise la médiane en un rapport de 2:1, on peut écrire :
\[ \overrightarrow{GA} = 2 \overrightarrow{GA'} \]
Donc, \( k = 2 \).

### 1) b. Montrer que \( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \)

Cette égalité exprime que le centre de gravité \( G \) est le barycentre des trois points \( A \), \( B \), et \( C \). En d'autres termes, la somme vectorielle des vecteurs partant du centre de gravité vers chaque sommet du triangle est nulle, ce qui est une conséquence de la définition du centre de gravité.

En termes de coordonnées barycentriques, le centre de gravité est défini de telle manière que :
\[ \frac{\overrightarrow{GA}}{1} + \frac{\overrightarrow{GB}}{1} + \frac{\overrightarrow{GC}}{1} = \overrightarrow{0} \]

### 2) a. Montrer que \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3 \overrightarrow{MG} \)

Pour un point quelconque \( M \) dans le plan, on peut exprimer la somme des vecteurs partant de \( M \) vers les sommets du triangle. En utilisant la propriété du centre de gravité, on sait que \( G \) est le barycentre du triangle, donc :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3 \overrightarrow{MG} \]

Cette relation est une généralisation de la définition du barycentre.

### 2) b. Démontrer que si le point \( M \) vérifie \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \), alors \( M \) est le centre de gravité du triangle ABC.

Si \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \), cela signifie que le point \( M \) est situé de telle manière qu'il équilibre les trois sommets \( A \), \( B \), et \( C \). Par définition, un point qui satisfait cette condition est le centre de gravité du triangle. Donc, \( M = G \).

### Résumé :
- \( AG = \frac{1}{3} AA' \) vient de la propriété du centre de gravité.
- Le coefficient \( k = 2 \).
- La somme des vecteurs partant du centre de gravité vers chaque sommet est nulle.
- Pour un point quelconque \( M \), la somme des vecteurs vers les sommets du triangle est trois fois le vecteur \( MG \).
- Si cette somme est nulle, alors \( M \) est le centre de gravité.

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Avez-vous besoin de plus de détails ou d'explications ? Voici cinq questions relatives pour approfondir :

1. Qu'est-ce qu'une coordonnée barycentrique et comment est-elle liée au centre de gravité ?
2. Comment décomposer un vecteur en utilisant les points du triangle ?
3. Quelles sont les propriétés des médianes dans un triangle ?
4. Comment peut-on généraliser ces résultats à des tétraèdres ou d'autres polygones ?
5. Comment démontrer le centre de gravité dans des triangles isocèles ou équilatéraux ?

**Astuce :** En géométrie, le centre de gravité d'un triangle est toujours à l'intersection des trois médianes, et il divise chaque médiane dans un rapport 2:1.

Propriété du centre de gravité dans un triangle quelconque. Justifier des égalités vectorielles liées au centre de gravité et démontrer des propriétés sur la somme des vecteurs.

Explore the properties of the centroid in a triangle, including how to justify the equality AG = (1/3) AA', and demonstrate that the vector sum GA + GB + GC = 0. Learn key vector geometry concepts and centroid theorems, suitable for Grades 9-12.

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