Untuk membuktikan persamaan trigonometri berikut:

$\cot(x) \cdot \sec(x) - \frac{1 - \cot(x)}{\sin(x)} = \cot(x) \cdot \csc(x)$

Mari kita lakukan langkah-langkah aljabar secara rinci untuk membuktikan persamaan ini.

Langkah 1: Menyederhanakan sisi kiri persamaan

Persamaan kiri kita adalah:

$\cot(x) \cdot \sec(x) - \frac{1 - \cot(x)}{\sin(x)}$

1. Menggunakan identitas trigonometri:
   • $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
   • $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
   • $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$

Sekarang, substitusi identitas tersebut ke dalam persamaan kiri:

$\cot(x) \cdot \sec(x) = \left( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right) \cdot \left( \frac{1}{\cos(x)} \right) = \frac{1}{\sin(x)}$

Jadi, bagian pertama dari sisi kiri persamaan menjadi $\frac{1}{\sin(x)}$.

2. Menyederhanakan bagian kedua:

$\frac{1 - \cot(x)}{\sin(x)} = \frac{1 - \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{\sin(x)} = \frac{\sin(x) - \cos(x)}{\sin(x) \cdot \sin(x)} = \frac{\sin(x) - \cos(x)}{\sin^2(x)}$

Jadi sisi kiri persamaan menjadi:

$\frac{1}{\sin(x)} - \frac{\sin(x) - \cos(x)}{\sin^2(x)}$

Langkah 2: Menyederhanakan ekspresi

Sekarang kita gabungkan kedua bagian:

$\frac{1}{\sin(x)} - \frac{\sin(x) - \cos(x)}{\sin^2(x)}$

Untuk menggabungkan keduanya, kita perlu menyamakan penyebutnya. Penyebut pertama adalah $\sin(x)$, sedangkan penyebut kedua adalah $\sin^2(x)$. Oleh karena itu, kita harus mengalikan $\frac{1}{\sin(x)}$ dengan $\frac{\sin(x)}{\sin(x)}$, menghasilkan:

$\frac{\sin(x)}{\sin^2(x)} - \frac{\sin(x) - \cos(x)}{\sin^2(x)}$

Sekarang kita dapat menggabungkan pembilangnya:

$\frac{\sin(x) - (\sin(x) - \cos(x))}{\sin^2(x)} = \frac{\sin(x) - \sin(x) + \cos(x)}{\sin^2(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$

Langkah 3: Menyederhanakan hasilnya

Sekarang kita memiliki hasil:

$\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = \cot(x) \cdot \csc(x)$

Ini adalah bentuk yang sama dengan sisi kanan persamaan yang ingin kita buktikan.

Kesimpulan

Dengan demikian, kita telah berhasil membuktikan bahwa:

$\cot(x) \cdot \sec(x) - \frac{1 - \cot(x)}{\sin(x)} = \cot(x) \cdot \csc(x)$

Apakah Anda membutuhkan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lainnya?

5 Pertanyaan Terkait:

1. Apa saja identitas trigonometri dasar yang digunakan dalam pembuktian ini?
2. Bagaimana cara membuktikan identitas trigonometri lainnya dengan menggunakan identitas dasar?
3. Apa perbedaan antara $\cot(x)$ dan $\csc(x)$?
4. Bagaimana cara menyederhanakan persamaan trigonometri yang lebih kompleks?
5. Apakah ada cara lain untuk membuktikan identitas trigonometri ini?

Tips:

Selalu periksa kembali setiap langkah ketika menyederhanakan ekspresi trigonometri. Terkadang, langkah kecil yang terlewat bisa memengaruhi keseluruhan pembuktian.