Math Problem Statement

با استفاده از طول اضلاع و شیب ها نشان دهید مثلث با رئوس A(8,6) و B(4,8) و C(2,4) قائم الزاویه است؟

Solution

برای اثبات اینکه مثلث با رئوس A(8,6)A(8,6)، B(4,8)B(4,8) و C(2,4)C(2,4) یک مثلث قائم‌الزاویه است، باید نشان دهیم که یکی از زوایای مثلث 90 درجه است. برای این کار، می‌توانیم از طول اضلاع و یا از شیب خطوط استفاده کنیم. در اینجا، هر دو روش را بررسی خواهیم کرد:

1. استفاده از طول اضلاع:

ابتدا طول هر ضلع مثلث را با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه می‌کنیم:

طول AB=(x2x1)2+(y2y1)2\text{طول } AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

محاسبه طول اضلاع:

  • طول ABAB:

AB=(48)2+(86)2=(4)2+(2)2=16+4=20=25AB = \sqrt{(4 - 8)^2 + (8 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

  • طول BCBC:

BC=(24)2+(48)2=(2)2+(4)2=4+16=20=25BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

  • طول ACAC:

AC=(28)2+(46)2=(6)2+(2)2=36+4=40=210AC = \sqrt{(2 - 8)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

بررسی قضیه فیثاغورس:

برای اینکه مثلث قائم‌الزاویه باشد، باید رابطه فیثاغورثی برقرار باشد:

AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2

جایگذاری مقادیر:

(25)2+(25)2=(210)2(2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = (2\sqrt{10})^2

4×5+4×5=4×104 \times 5 + 4 \times 5 = 4 \times 10

20+20=4020 + 20 = 40

این معادله برقرار است، پس مثلث ABCABC یک مثلث قائم‌الزاویه است.

2. استفاده از شیب‌ها:

می‌توانیم شیب دو خط را پیدا کرده و بررسی کنیم که آیا آنها عمود بر یکدیگر هستند یا خیر (ضرب شیب‌های آنها باید برابر با -1 باشد).

محاسبه شیب‌ها:

شیب خط ABAB:

mAB=y2y1x2x1=8648=24=12m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 6}{4 - 8} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}

شیب خط BCBC:

mBC=4824=42=2m_{BC} = \frac{4 - 8}{2 - 4} = \frac{-4}{-2} = 2

چون حاصل‌ضرب شیب‌های ABAB و BCBC برابر با -1 است:

mAB×mBC=12×2=1m_{AB} \times m_{BC} = -\frac{1}{2} \times 2 = -1

این نشان می‌دهد که دو خط عمود بر هم هستند، پس زاویه بین آنها 90 درجه است و مثلث ABCABC قائم‌الزاویه است.

نتیجه‌گیری:

هر دو روش اثبات می‌کنند که مثلث با رئوس A(8,6)A(8,6)، B(4,8)B(4,8) و C(2,4)C(2,4) یک مثلث قائم‌الزاویه است.


آیا توضیحات بیشتری لازم دارید یا سوالی دارید؟
پنج سوال مرتبط با موضوع:

  1. چگونه می‌توان با استفاده از شیب و بدون محاسبه طول اضلاع، یک مثلث قائم‌الزاویه را اثبات کرد؟
  2. آیا می‌توان مثلث را با استفاده از زاویه‌یاب و شیب خطوط رسم کرد؟
  3. چگونه می‌توان شیب‌های دیگر خطوط در یک چندضلعی را محاسبه کرد؟
  4. آیا می‌توان رابطه‌ی فیثاغورثی را برای دیگر انواع مثلث‌ها استفاده کرد؟
  5. روش‌های دیگر برای اثبات قائم‌الزاویه بودن یک مثلث چیست؟

نکته: در مثلث‌های قائم‌الزاویه، رابطه فیثاغورس تنها زمانی برقرار است که زاویه قائمه در یکی از رئوس مثلث باشد.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Geometry
Distance Formula
Slope
Pythagorean Theorem

Formulas

Distance Formula: \( AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
Pythagorean Theorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Slope Formula: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Theorems

Pythagorean Theorem
Perpendicular Lines Theorem

Suitable Grade Level

Grades 9-11