با استفاده از طول اضلاع و شیب ها نشان دهید مثلث با رئوس A(8,6) و B(4,8) و C(2,4) قائم الزاویه است؟

برای اثبات اینکه مثلث با رئوس \( A(8,6) \)، \( B(4,8) \) و \( C(2,4) \) یک مثلث قائم‌الزاویه است، باید نشان دهیم که یکی از زوایای مثلث 90 درجه است. برای این کار، می‌توانیم از طول اضلاع و یا از شیب خطوط استفاده کنیم. در اینجا، هر دو روش را بررسی خواهیم کرد:

### 1. استفاده از طول اضلاع:

ابتدا طول هر ضلع مثلث را با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه می‌کنیم:

\[
\text{طول } AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

#### محاسبه طول اضلاع:

- طول \( AB \):

\[
AB = \sqrt{(4 - 8)^2 + (8 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

- طول \( BC \):

\[
BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

- طول \( AC \):

\[
AC = \sqrt{(2 - 8)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
\]

### بررسی قضیه فیثاغورس:

برای اینکه مثلث قائم‌الزاویه باشد، باید رابطه فیثاغورثی برقرار باشد:

\[
AB^2 + BC^2 = AC^2
\]

جایگذاری مقادیر:

\[
(2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = (2\sqrt{10})^2
\]

\[
4 \times 5 + 4 \times 5 = 4 \times 10
\]

\[
20 + 20 = 40
\]

این معادله برقرار است، پس مثلث \( ABC \) یک مثلث قائم‌الزاویه است.

### 2. استفاده از شیب‌ها:

می‌توانیم شیب دو خط را پیدا کرده و بررسی کنیم که آیا آنها عمود بر یکدیگر هستند یا خیر (ضرب شیب‌های آنها باید برابر با -1 باشد).

#### محاسبه شیب‌ها:

شیب خط \( AB \):

\[
m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 6}{4 - 8} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}
\]

شیب خط \( BC \):

\[
m_{BC} = \frac{4 - 8}{2 - 4} = \frac{-4}{-2} = 2
\]

چون حاصل‌ضرب شیب‌های \( AB \) و \( BC \) برابر با -1 است:

\[
m_{AB} \times m_{BC} = -\frac{1}{2} \times 2 = -1
\]

این نشان می‌دهد که دو خط عمود بر هم هستند، پس زاویه بین آنها 90 درجه است و مثلث \( ABC \) قائم‌الزاویه است.

### نتیجه‌گیری:

هر دو روش اثبات می‌کنند که مثلث با رئوس \( A(8,6) \)، \( B(4,8) \) و \( C(2,4) \) یک مثلث قائم‌الزاویه است.

---

آیا توضیحات بیشتری لازم دارید یا سوالی دارید؟  
پنج سوال مرتبط با موضوع:
1. چگونه می‌توان با استفاده از شیب و بدون محاسبه طول اضلاع، یک مثلث قائم‌الزاویه را اثبات کرد؟
2. آیا می‌توان مثلث را با استفاده از زاویه‌یاب و شیب خطوط رسم کرد؟
3. چگونه می‌توان شیب‌های دیگر خطوط در یک چندضلعی را محاسبه کرد؟
4. آیا می‌توان رابطه‌ی فیثاغورثی را برای دیگر انواع مثلث‌ها استفاده کرد؟
5. روش‌های دیگر برای اثبات قائم‌الزاویه بودن یک مثلث چیست؟

**نکته:** در مثلث‌های قائم‌الزاویه، رابطه فیثاغورس تنها زمانی برقرار است که زاویه قائمه در یکی از رئوس مثلث باشد.

Learn how to prove that a triangle with vertices A(8,6), B(4,8), and C(2,4) is right-angled using both the distance formula and the slopes of the sides. This proof involves applying the Pythagorean theorem and checking for perpendicular lines. Suitable for students in Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation