Pour démontrer cette implication, on commence par écrire clairement l'équation donnée et l'analyser étape par étape.

On part de l'égalité suivante :

$\sqrt{x + \sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x + 3}{2}} + \sqrt{\frac{x - y}{2}}$

Étape 1 : Élever les deux membres au carré

Pour éliminer les racines, nous allons élever les deux côtés au carré. Cela nous donne :

$(\sqrt{x + \sqrt{y}})^2 = \left( \sqrt{\frac{x + 3}{2}} + \sqrt{\frac{x - y}{2}} \right)^2$

Ce qui se simplifie à :

$x + \sqrt{y} = \left( \sqrt{\frac{x + 3}{2}} \right)^2 + 2 \cdot \sqrt{\frac{x + 3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{x - y}{2}} + \left( \sqrt{\frac{x - y}{2}} \right)^2$

Étape 2 : Calculer chaque terme

Terme 1 : Carré de $\sqrt{\frac{x + 3}{2}}$

$\left( \sqrt{\frac{x + 3}{2}} \right)^2 = \frac{x + 3}{2}$

Terme 2 : Carré de $\sqrt{\frac{x - y}{2}}$

$\left( \sqrt{\frac{x - y}{2}} \right)^2 = \frac{x - y}{2}$

Terme 3 : Double produit

$2 \cdot \sqrt{\frac{x + 3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{x - y}{2}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{(x + 3)(x - y)}{4}} = \sqrt{(x + 3)(x - y)}$

Étape 3 : Réorganiser l'expression

En rassemblant les termes, nous obtenons :

$x + \sqrt{y} = \frac{x + 3}{2} + \frac{x - y}{2} + \sqrt{(x + 3)(x - y)}$

Additionnons les fractions du côté droit :

$x + \sqrt{y} = \frac{(x + 3) + (x - y)}{2} + \sqrt{(x + 3)(x - y)}$

$x + \sqrt{y} = \frac{2x + 3 - y}{2} + \sqrt{(x + 3)(x - y)}$

Étape 4 : Équilibrer les deux membres

Nous devons maintenant comparer chaque terme des deux côtés. Pour que l'égalité soit vraie, le terme contenant $\sqrt{y}$ du côté gauche doit être égal au terme contenant la racine $\sqrt{(x + 3)(x - y)}$ du côté droit. Cela implique que :

$\sqrt{y} = \sqrt{(x + 3)(x - y)}$

Étape 5 : Élever à nouveau au carré

En élevant cette équation au carré, on obtient :

$y = (x + 3)(x - y)$

Développons le membre de droite :

$y = x^2 - yx + 3x - 3y$

Isolons tous les termes en $y$ d'un côté :

$y + yx + 3y = x^2 + 3x$

$y(1 + x + 3) = x^2 + 3x$

$y(x + 4) = x^2 + 3x$

Finalement, on a l'expression suivante :

$y = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$

Conclusion : Implication pour $x^2 - y = z^2$

À partir de cette relation pour $y$, on peut substituer dans l'équation originale pour obtenir $x^2 - y$, puis examiner les conditions sous lesquelles cela correspond à un carré parfait $z^2$, selon l'expression donnée.

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Si vous avez des questions ou souhaitez plus de détails, n'hésitez pas à demander !

Questions relatives :

1. Quelles sont les conditions d'existence pour cette équation en $x$ et $y$ ?
2. Comment pourrait-on interpréter géométriquement cette équation ?
3. Quelles autres méthodes pourraient simplifier cette démonstration ?
4. Quelle est la signification de $x^2 - y = z^2$ en termes d'identités remarquables ?
5. Comment vérifier si cette égalité est valide pour certains cas particuliers de $x$ et $y$ ?

Astuce :

Lors de l'élévation au carré d'une équation comportant des racines, veillez à vérifier si toutes les solutions obtenues sont valides en remplaçant dans l'expression initiale.