Montrez que (la racine de x plus la racine de y(la racine de y est à l'intérieur de la racine de x) est égale à la racine de (x plus 3 sur 2) plus la racine de (x moins y sur 2) implique x au carré moins y est égal à z au carré.

Pour démontrer cette implication, on commence par écrire clairement l'équation donnée et l'analyser étape par étape.

On part de l'égalité suivante :

\[
\sqrt{x + \sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x + 3}{2}} + \sqrt{\frac{x - y}{2}}
\]

### Étape 1 : Élever les deux membres au carré

Pour éliminer les racines, nous allons élever les deux côtés au carré. Cela nous donne :

\[
(\sqrt{x + \sqrt{y}})^2 = \left( \sqrt{\frac{x + 3}{2}} + \sqrt{\frac{x - y}{2}} \right)^2
\]

Ce qui se simplifie à :

\[
x + \sqrt{y} = \left( \sqrt{\frac{x + 3}{2}} \right)^2 + 2 \cdot \sqrt{\frac{x + 3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{x - y}{2}} + \left( \sqrt{\frac{x - y}{2}} \right)^2
\]

### Étape 2 : Calculer chaque terme

#### Terme 1 : Carré de \(\sqrt{\frac{x + 3}{2}}\)
\[
\left( \sqrt{\frac{x + 3}{2}} \right)^2 = \frac{x + 3}{2}
\]

#### Terme 2 : Carré de \(\sqrt{\frac{x - y}{2}}\)
\[
\left( \sqrt{\frac{x - y}{2}} \right)^2 = \frac{x - y}{2}
\]

#### Terme 3 : Double produit
\[
2 \cdot \sqrt{\frac{x + 3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{x - y}{2}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{(x + 3)(x - y)}{4}} = \sqrt{(x + 3)(x - y)}
\]

### Étape 3 : Réorganiser l'expression

En rassemblant les termes, nous obtenons :

\[
x + \sqrt{y} = \frac{x + 3}{2} + \frac{x - y}{2} + \sqrt{(x + 3)(x - y)}
\]

Additionnons les fractions du côté droit :

\[
x + \sqrt{y} = \frac{(x + 3) + (x - y)}{2} + \sqrt{(x + 3)(x - y)}
\]

\[
x + \sqrt{y} = \frac{2x + 3 - y}{2} + \sqrt{(x + 3)(x - y)}
\]

### Étape 4 : Équilibrer les deux membres

Nous devons maintenant comparer chaque terme des deux côtés. Pour que l'égalité soit vraie, le terme contenant \(\sqrt{y}\) du côté gauche doit être égal au terme contenant la racine \(\sqrt{(x + 3)(x - y)}\) du côté droit. Cela implique que :

\[
\sqrt{y} = \sqrt{(x + 3)(x - y)}
\]

### Étape 5 : Élever à nouveau au carré

En élevant cette équation au carré, on obtient :

\[
y = (x + 3)(x - y)
\]

Développons le membre de droite :

\[
y = x^2 - yx + 3x - 3y
\]

Isolons tous les termes en \(y\) d'un côté :

\[
y + yx + 3y = x^2 + 3x
\]

\[
y(1 + x + 3) = x^2 + 3x
\]

\[
y(x + 4) = x^2 + 3x
\]

Finalement, on a l'expression suivante :

\[
y = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}
\]

### Conclusion : Implication pour \(x^2 - y = z^2\)

À partir de cette relation pour \(y\), on peut substituer dans l'équation originale pour obtenir \(x^2 - y\), puis examiner les conditions sous lesquelles cela correspond à un carré parfait \(z^2\), selon l'expression donnée.

---

Si vous avez des questions ou souhaitez plus de détails, n'hésitez pas à demander !

### Questions relatives :

1. Quelles sont les conditions d'existence pour cette équation en \(x\) et \(y\) ?
2. Comment pourrait-on interpréter géométriquement cette équation ?
3. Quelles autres méthodes pourraient simplifier cette démonstration ?
4. Quelle est la signification de \(x^2 - y = z^2\) en termes d'identités remarquables ?
5. Comment vérifier si cette égalité est valide pour certains cas particuliers de \(x\) et \(y\) ?

### Astuce :
Lors de l'élévation au carré d'une équation comportant des racines, veillez à vérifier si toutes les solutions obtenues sont valides en remplaçant dans l'expression initiale.

Montrez que (la racine de x plus la racine de y (la racine de y est à l'intérieur de la racine de x)) est égale à la racine de (x plus 3 sur 2) plus la racine de (x moins y sur 2) implique x au carré moins y est égal à z au carré.

This problem demonstrates how to prove that √(x + √y) equals the sum of two square roots leads to x² - y = z². It covers algebraic concepts like solving square root equations, polynomial identities, and the difference of squares theorem. Suitable for Grades 10-12.

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