要证明：
给定 $a$, $b$, $c$ 为互不相等的正数，且 $abc = 1$，我们需要证明：

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

证明

首先，由于 $abc = 1$，我们可以引入变量变换 $a = \frac{x}{y}$, $b = \frac{y}{z}$, $c = \frac{z}{x}$，其中 $x, y, z$ 为正数。这种变换满足条件 $abc = \left(\frac{x}{y}\right)\left(\frac{y}{z}\right)\left(\frac{z}{x}\right) = 1$，且 $a, b, c$ 依然是正数。

利用不等式变换：

$\sqrt{a} = \sqrt{\frac{x}{y}}, \quad \sqrt{b} = \sqrt{\frac{y}{z}}, \quad \sqrt{c} = \sqrt{\frac{z}{x}}$

不等式可以写成：

$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt{\frac{z}{x}} < \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}$

使用对称不等式

考虑使用 AM-GM 不等式（算术-几何平均不等式），对于正数 $x, y, z$，不等式成立：

$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq 3$

同样地，由于 $x, y, z$ 是正数：

$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt{\frac{z}{x}} \geq 3$

比较这两个不等式

通过观察和 AM-GM 不等式，我们知道 $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$ 的值比 $\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt{\frac{z}{x}}$ 要大。因为对于相同的变量，当一个数变大时，它的倒数变小，所以：

$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt{\frac{z}{x}} \leq \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$

而且我们假设 $a, b, c$ 互不相等，意味着不等式严格成立：

$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt{\frac{z}{x}} < \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$

结论

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

此即所要证。

---

您需要进一步的详细解答或有任何问题吗？

相关问题：

1. 如何使用其他不等式（如Cauchy-Schwarz不等式）来证明此问题？
2. 如果 $abc \neq 1$，如何调整证明？
3. 为什么 AM-GM 不等式对这种类型的问题特别有用？
4. 以上证明中是否有其他假设？如果有，是什么？
5. 变量变换 $a = \frac{x}{y}$ 等的意义是什么？

小提示： AM-GM 不等式对于比较乘积和和的关系特别有用，尤其是当我们可以将表达式归一化时。