برای اثبات این که در هر متوازی‌الاضلاع زاویه‌های روبه‌رو با هم برابر و زاویه‌های مجاور مکمل‌اند، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. تعریف متوازی‌الاضلاع:

متوازی‌الاضلاع شکلی است که در آن دو جفت ضلع‌های روبه‌رو با هم موازی‌اند. فرض کنید متوازی‌الاضلاع $ABCD$ باشد که در آن $AB \parallel CD$ و $AD \parallel BC$.

2. اثبات برابری زاویه‌های روبه‌رو:

با استفاده از مفهوم خطوط موازی و زاویه‌های متناظر و متقابل‌به‌راس:

• $AB \parallel CD$ و $AC$ یک خط مورب است. طبق قضیه‌ی زاویه‌های متناظر، زاویه‌های $\angle A$ و $\angle C$ با هم برابر هستند.
• همچنین $AD \parallel BC$ و $BD$ یک خط مورب است. طبق قضیه‌ی زاویه‌های متناظر، زاویه‌های $\angle B$ و $\angle D$ نیز با هم برابر هستند.

پس زاویه‌های روبه‌روی متوازی‌الاضلاع با هم برابرند: $\angle A = \angle C \quad \text{و} \quad \angle B = \angle D$

3. اثبات مکمل بودن زاویه‌های مجاور:

دو زاویه‌ی مجاور در متوازی‌الاضلاع مکمل هستند. یعنی مجموع آن‌ها $180^\circ$ است. برای اثبات:

• از آنجا که $AB \parallel CD$ و $AD$ خط مورب است، زاویه‌های داخلی در یک سمت خط مورب مکمل هستند. بنابراین: $\angle A + \angle B = 180^\circ$
• به‌همین ترتیب، $AD \parallel BC$ و $AB$ خط مورب است، بنابراین: $\angle A + \angle D = 180^\circ$ این رابطه برای تمام زاویه‌های مجاور برقرار است.

نتیجه‌گیری:

در هر متوازی‌الاضلاع:

1. زاویه‌های روبه‌رو با هم برابرند: $\angle A = \angle C$ و $\angle B = \angle D$.
2. زاویه‌های مجاور مکمل‌اند: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

---

آیا می‌خواهید جزئیات بیشتری از این اثبات یا مفاهیم مرتبط داشته باشید؟

پنج سوال مرتبط:

1. چگونه می‌توان از خواص زاویه‌های متوازی‌الاضلاع برای حل مسائل هندسی استفاده کرد؟
2. چه تفاوتی بین متوازی‌الاضلاع و لوزی در مورد زاویه‌ها وجود دارد؟
3. چگونه می‌توان با استفاده از زوایای متوازی‌الاضلاع به مساحت آن دست یافت؟
4. اگر یکی از زاویه‌های متوازی‌الاضلاع مشخص باشد، چگونه زاویه‌های دیگر را پیدا می‌کنیم؟
5. آیا خواص زاویه‌ها در شکل‌های دیگر مثل ذوزنقه هم صدق می‌کنند؟

یک نکته: در متوازی‌الاضلاع، قطرها زاویه‌های داخلی را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کنند.