Чтобы доказать, что

$\lim_{n \to \infty} \frac{\log_a(n)}{n} = 0,$

используем следующие шаги:

1. Перепишем логарифм через натуральный логарифм. Пусть $\log_a(n) = \frac{\ln(n)}{\ln(a)}$. Тогда

   $\frac{\log_a(n)}{n} = \frac{\ln(n)}{n \cdot \ln(a)}.$

   Поскольку $\ln(a)$ — это константа (и положительная, если $a > 1$), можно сосредоточиться на пределе

   $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}.$

2. Рассмотрим предел $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}$. Для этого используем правило Лопиталя, так как у нас в числителе и знаменателе функции, стремящиеся к бесконечности при $n \to \infty$.

   По правилу Лопиталя, вычислим производные числителя и знаменателя:

   $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{dn} (\ln(n))}{\frac{d}{dn} (n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.$

3. Заключение. Мы получили, что

   $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0,$

   и, следовательно,

   $\lim_{n \to \infty} \frac{\log_a(n)}{n} = \frac{1}{\ln(a)} \cdot 0 = 0.$

Таким образом, мы доказали, что

$\lim_{n \to \infty} \frac{\log_a(n)}{n} = 0.$

Хочешь подробное объяснение какого-то шага или есть вопросы?

Дополнительные вопросы:

1. Как доказать аналогичный предел для $\lim_{n \to \infty} \frac{(\log_a(n))^k}{n}$, где $k$ — константа?
2. Как использовать правило Лопиталя для пределов, в которых числитель и знаменатель стремятся к бесконечности?
3. Почему $\ln(n)$ растет медленнее, чем $n$, и как это связано с доказанным пределом?
4. Как доказать, что $\frac{\log_a(n)}{n^p} \to 0$ при $n \to \infty$ для любого $p > 0$?
5. Как может измениться результат, если основание логарифма $a$ — число меньше 1?

Совет:

Часто полезно заменять логарифмы на натуральные, так как они легче интегрируются и дифференцируются.