Tidak ada bilangan rasional x yang
memenuhi persamaan x^2 = 2.
Bukti. Andaikan ada bilangan rasional x = m/n,
dengan m, n bilangan bulat dan FPB(m,n) = 1, yang
memenuhi persamaan x^2 = 2. Maka m^2 = 2n^2
. Ini
berarti bahwa m^2 genap, dan akibatnya m juga
genap. Tulis m = 2k. Maka 4k^2 = 2n^2
, sehingga n
2 =
2k^2
. Ini berarti bahwa n
2 genap, dan akibatnya n juga
genap. Jadi FPB(m,n) ≥ 2, bertentangan dengan
asumsi di atas. Soal. Buktikan tidak ada bilangan real x
yang memenuhi persamaan x^2 = 3.

Untuk membuktikan bahwa tidak ada bilangan real \( x \) yang memenuhi persamaan \( x^2 = 3 \), kita akan menggunakan teknik yang serupa dengan pembuktian tidak adanya bilangan rasional \( x \) yang memenuhi persamaan \( x^2 = 2 \), dengan beberapa penyesuaian untuk kasus ini.

### Pembuktian:
1. **Asumsi awal**:
   Misalkan ada bilangan rasional \( x = \frac{m}{n} \), dengan \( m \) dan \( n \) adalah bilangan bulat yang tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1 (artinya FPB(m, n) = 1), yang memenuhi persamaan \( x^2 = 3 \). Maka, kita bisa menulis persamaan ini sebagai:
   \[
   \left( \frac{m}{n} \right)^2 = 3
   \]
   atau
   \[
   \frac{m^2}{n^2} = 3
   \]
   sehingga
   \[
   m^2 = 3n^2
   \]
   
2. **Menggunakan sifat genap**:
   Persamaan \( m^2 = 3n^2 \) menunjukkan bahwa \( m^2 \) adalah kelipatan dari 3. Artinya, \( m \) harus juga merupakan kelipatan dari 3. Jadi, kita dapat menulis \( m = 3k \) untuk suatu bilangan bulat \( k \).

3. **Mengganti \( m \) dalam persamaan**:
   Sekarang, substitusi \( m = 3k \) ke dalam persamaan \( m^2 = 3n^2 \), kita dapatkan:
   \[
   (3k)^2 = 3n^2
   \]
   \[
   9k^2 = 3n^2
   \]
   membagi kedua sisi dengan 3:
   \[
   3k^2 = n^2
   \]
   
4. **Menggunakan sifat genap lagi**:
   Persamaan \( n^2 = 3k^2 \) menunjukkan bahwa \( n^2 \) adalah kelipatan dari 3, yang berarti \( n \) juga harus merupakan kelipatan dari 3. Jadi, kita dapat menulis \( n = 3j \) untuk suatu bilangan bulat \( j \).

5. **Menurunkan kontradiksi**:
   Sekarang, kita telah menemukan bahwa \( m = 3k \) dan \( n = 3j \), yang berarti bahwa \( m \) dan \( n \) keduanya kelipatan dari 3. Ini bertentangan dengan asumsi awal bahwa \( m \) dan \( n \) tidak memiliki faktor persekutuan selain 1 (FPB(m, n) = 1). Oleh karena itu, tidak mungkin ada bilangan rasional \( x = \frac{m}{n} \) yang memenuhi persamaan \( x^2 = 3 \).

6. **Kesimpulan**:
   Karena tidak ada bilangan rasional \( x \) yang memenuhi \( x^2 = 3 \), maka tidak ada bilangan rasional yang memenuhi persamaan tersebut. Karena setiap bilangan real dapat dibagi menjadi bilangan rasional dan irasional, dan kita telah menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi persamaan tersebut, maka tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan \( x^2 = 3 \).

### Pertanyaan Tindak Lanjut:
1. Mengapa langkah penggunaan sifat genap penting dalam pembuktian ini?
2. Apa yang terjadi jika kita tidak mengasumsikan \( x \) sebagai bilangan rasional, tetapi sebagai bilangan irasional?
3. Bagaimana cara membuktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi \( x^2 = 2 \)?
4. Apa yang membedakan pembuktian ini dengan pembuktian bahwa \( x^2 = 2 \) tidak memiliki solusi rasional?
5. Apa peran FPB dalam pembuktian ini dan bagaimana hal itu membantu kita mencapai kontradiksi?

### Tip:
Untuk pembuktian seperti ini, selalu pastikan untuk memanfaatkan sifat-sifat kelipatan dan sifat bilangan bulat (misalnya, kelipatan genap atau ganjil) untuk menurunkan kontradiksi, yang dapat menjadi kunci dalam menyelesaikan pembuktian matematika.

Buktikan tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan x^2 = 3.

Explore a detailed mathematical proof showing that no real number satisfies the equation x^2 = 3. This proof uses number theory, properties of rational numbers, and contradiction methods. Ideal for high school and undergraduate students studying advanced mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation