Math Problem Statement
Tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi persamaan x^2 = 2. Bukti. Andaikan ada bilangan rasional x = m/n, dengan m, n bilangan bulat dan FPB(m,n) = 1, yang memenuhi persamaan x^2 = 2. Maka m^2 = 2n^2 . Ini berarti bahwa m^2 genap, dan akibatnya m juga genap. Tulis m = 2k. Maka 4k^2 = 2n^2 , sehingga n 2 = 2k^2 . Ini berarti bahwa n 2 genap, dan akibatnya n juga genap. Jadi FPB(m,n) ≥ 2, bertentangan dengan asumsi di atas. Soal. Buktikan tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan x^2 = 3.
Solution
Untuk membuktikan bahwa tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan , kita akan menggunakan teknik yang serupa dengan pembuktian tidak adanya bilangan rasional yang memenuhi persamaan , dengan beberapa penyesuaian untuk kasus ini.
Pembuktian:
-
Asumsi awal: Misalkan ada bilangan rasional , dengan dan adalah bilangan bulat yang tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1 (artinya FPB(m, n) = 1), yang memenuhi persamaan . Maka, kita bisa menulis persamaan ini sebagai: atau sehingga
-
Menggunakan sifat genap: Persamaan menunjukkan bahwa adalah kelipatan dari 3. Artinya, harus juga merupakan kelipatan dari 3. Jadi, kita dapat menulis untuk suatu bilangan bulat .
-
Mengganti dalam persamaan: Sekarang, substitusi ke dalam persamaan , kita dapatkan: membagi kedua sisi dengan 3:
-
Menggunakan sifat genap lagi: Persamaan menunjukkan bahwa adalah kelipatan dari 3, yang berarti juga harus merupakan kelipatan dari 3. Jadi, kita dapat menulis untuk suatu bilangan bulat .
-
Menurunkan kontradiksi: Sekarang, kita telah menemukan bahwa dan , yang berarti bahwa dan keduanya kelipatan dari 3. Ini bertentangan dengan asumsi awal bahwa dan tidak memiliki faktor persekutuan selain 1 (FPB(m, n) = 1). Oleh karena itu, tidak mungkin ada bilangan rasional yang memenuhi persamaan .
-
Kesimpulan: Karena tidak ada bilangan rasional yang memenuhi , maka tidak ada bilangan rasional yang memenuhi persamaan tersebut. Karena setiap bilangan real dapat dibagi menjadi bilangan rasional dan irasional, dan kita telah menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi persamaan tersebut, maka tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan .
Pertanyaan Tindak Lanjut:
- Mengapa langkah penggunaan sifat genap penting dalam pembuktian ini?
- Apa yang terjadi jika kita tidak mengasumsikan sebagai bilangan rasional, tetapi sebagai bilangan irasional?
- Bagaimana cara membuktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi ?
- Apa yang membedakan pembuktian ini dengan pembuktian bahwa tidak memiliki solusi rasional?
- Apa peran FPB dalam pembuktian ini dan bagaimana hal itu membantu kita mencapai kontradiksi?
Tip:
Untuk pembuktian seperti ini, selalu pastikan untuk memanfaatkan sifat-sifat kelipatan dan sifat bilangan bulat (misalnya, kelipatan genap atau ganjil) untuk menurunkan kontradiksi, yang dapat menjadi kunci dalam menyelesaikan pembuktian matematika.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Number Theory
Proof by Contradiction
Properties of Rational and Irrational Numbers
Formulas
x^2 = 3
m^2 = 3n^2
Theorems
Fundamental Theorem of Arithmetic
Properties of Even and Odd Numbers
Greatest Common Divisor (GCD) Properties
Suitable Grade Level
High School (Grades 10-12) / Undergraduate Mathematics
Related Recommendation
Proof by Contradiction: No Rational Number satisfies r^3 + r + 1 = 0
Proof of the Irrationality of sqrt(2) Using the Polynomial x^2 - 2
Proof that No Rational Number Squared Equals 5 (Proof by Contradiction)
Proof that 5 - √3 is Irrational: Detailed Explanation
Proving the Irrationality of √2 Using Contradiction