Math Problem Statement

Tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi persamaan x^2 = 2. Bukti. Andaikan ada bilangan rasional x = m/n, dengan m, n bilangan bulat dan FPB(m,n) = 1, yang memenuhi persamaan x^2 = 2. Maka m^2 = 2n^2 . Ini berarti bahwa m^2 genap, dan akibatnya m juga genap. Tulis m = 2k. Maka 4k^2 = 2n^2 , sehingga n 2 = 2k^2 . Ini berarti bahwa n 2 genap, dan akibatnya n juga genap. Jadi FPB(m,n) ≥ 2, bertentangan dengan asumsi di atas. Soal. Buktikan tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan x^2 = 3.

Solution

Untuk membuktikan bahwa tidak ada bilangan real xx yang memenuhi persamaan x2=3x^2 = 3, kita akan menggunakan teknik yang serupa dengan pembuktian tidak adanya bilangan rasional xx yang memenuhi persamaan x2=2x^2 = 2, dengan beberapa penyesuaian untuk kasus ini.

Pembuktian:

  1. Asumsi awal: Misalkan ada bilangan rasional x=mnx = \frac{m}{n}, dengan mm dan nn adalah bilangan bulat yang tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1 (artinya FPB(m, n) = 1), yang memenuhi persamaan x2=3x^2 = 3. Maka, kita bisa menulis persamaan ini sebagai: (mn)2=3\left( \frac{m}{n} \right)^2 = 3 atau m2n2=3\frac{m^2}{n^2} = 3 sehingga m2=3n2m^2 = 3n^2

  2. Menggunakan sifat genap: Persamaan m2=3n2m^2 = 3n^2 menunjukkan bahwa m2m^2 adalah kelipatan dari 3. Artinya, mm harus juga merupakan kelipatan dari 3. Jadi, kita dapat menulis m=3km = 3k untuk suatu bilangan bulat kk.

  3. Mengganti mm dalam persamaan: Sekarang, substitusi m=3km = 3k ke dalam persamaan m2=3n2m^2 = 3n^2, kita dapatkan: (3k)2=3n2(3k)^2 = 3n^2 9k2=3n29k^2 = 3n^2 membagi kedua sisi dengan 3: 3k2=n23k^2 = n^2

  4. Menggunakan sifat genap lagi: Persamaan n2=3k2n^2 = 3k^2 menunjukkan bahwa n2n^2 adalah kelipatan dari 3, yang berarti nn juga harus merupakan kelipatan dari 3. Jadi, kita dapat menulis n=3jn = 3j untuk suatu bilangan bulat jj.

  5. Menurunkan kontradiksi: Sekarang, kita telah menemukan bahwa m=3km = 3k dan n=3jn = 3j, yang berarti bahwa mm dan nn keduanya kelipatan dari 3. Ini bertentangan dengan asumsi awal bahwa mm dan nn tidak memiliki faktor persekutuan selain 1 (FPB(m, n) = 1). Oleh karena itu, tidak mungkin ada bilangan rasional x=mnx = \frac{m}{n} yang memenuhi persamaan x2=3x^2 = 3.

  6. Kesimpulan: Karena tidak ada bilangan rasional xx yang memenuhi x2=3x^2 = 3, maka tidak ada bilangan rasional yang memenuhi persamaan tersebut. Karena setiap bilangan real dapat dibagi menjadi bilangan rasional dan irasional, dan kita telah menunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi persamaan tersebut, maka tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan x2=3x^2 = 3.

Pertanyaan Tindak Lanjut:

  1. Mengapa langkah penggunaan sifat genap penting dalam pembuktian ini?
  2. Apa yang terjadi jika kita tidak mengasumsikan xx sebagai bilangan rasional, tetapi sebagai bilangan irasional?
  3. Bagaimana cara membuktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang memenuhi x2=2x^2 = 2?
  4. Apa yang membedakan pembuktian ini dengan pembuktian bahwa x2=2x^2 = 2 tidak memiliki solusi rasional?
  5. Apa peran FPB dalam pembuktian ini dan bagaimana hal itu membantu kita mencapai kontradiksi?

Tip:

Untuk pembuktian seperti ini, selalu pastikan untuk memanfaatkan sifat-sifat kelipatan dan sifat bilangan bulat (misalnya, kelipatan genap atau ganjil) untuk menurunkan kontradiksi, yang dapat menjadi kunci dalam menyelesaikan pembuktian matematika.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Number Theory
Proof by Contradiction
Properties of Rational and Irrational Numbers

Formulas

x^2 = 3
m^2 = 3n^2

Theorems

Fundamental Theorem of Arithmetic
Properties of Even and Odd Numbers
Greatest Common Divisor (GCD) Properties

Suitable Grade Level

High School (Grades 10-12) / Undergraduate Mathematics