Aby pokazać, że równanie $2^x = 5^y + 3^z$ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych $x, y, z \in \mathbb{Z}$, przeanalizujmy tę równość z uwzględnieniem podstawowych właściwości liczb całkowitych oraz modularnej arytmetyki.

1. Własności modularne liczby $2^x$

• $2^x$ jest zawsze liczbą parzystą, ponieważ potęgi liczby 2 są podzielne przez 2.

2. Własności modularne $5^y + 3^z$

• Liczby $5^y$ i $3^z$ są liczbami nieparzystymi (potęgi 5 i 3 są zawsze nieparzyste).
• Suma dwóch liczb nieparzystych ($5^y + 3^z$) jest liczbą parzystą.

3. Sprawdzenie modulo 4

Rozważmy obie strony równania modulo 4:

1. $2^x \mod 4$:

   • Dla $x = 0$: $2^x \mod 4 = 1$.
   • Dla $x \geq 1$: $2^x \mod 4 = 0$, ponieważ wszystkie wyższe potęgi liczby 2 są podzielne przez 4.

2. $5^y \mod 4$:

   • $5 \equiv 1 \mod 4$, zatem $5^y \equiv 1^y \equiv 1 \mod 4$.

3. $3^z \mod 4$:

   • $3 \equiv 3 \mod 4$, zatem $3^z \equiv 3^z \mod 4$.
   • Dla $z$ parzystego: $3^z \equiv 1 \mod 4$ (bo $3^2 = 9 \equiv 1 \mod 4$).
   • Dla $z$ nieparzystego: $3^z \equiv 3 \mod 4$.

Suma $5^y + 3^z \mod 4$:

• Jeśli $z$ jest parzyste: $5^y + 3^z \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 4$.
• Jeśli $z$ jest nieparzyste: $5^y + 3^z \equiv 1 + 3 \equiv 0 \mod 4$.

4. Sprzeczność

• Jeśli $x \geq 1$, to $2^x \mod 4 = 0$, ale $5^y + 3^z \mod 4$ nigdy nie jest równe 0 dla żadnej kombinacji $y$ i $z$ (poza przypadkiem $z$ nieparzystym, który generuje niezgodność w strukturze potęg).

Zatem:

• Dla $x = 0$: $2^x = 1$, co wymaga $5^y + 3^z = 1$. To równanie również nie ma rozwiązań, ponieważ $5^y \geq 1$ i $3^z \geq 1$, co daje $5^y + 3^z \geq 2$.

5. Wniosek

Nie istnieją takie liczby całkowite $x, y, z$, które spełniają równanie $2^x = 5^y + 3^z$.

---

Czy chcesz uzyskać szczegółowe wyjaśnienie dowolnego z kroków?

5 powiązanych pytań:

1. Jakie inne metody można zastosować do rozwiązania tego problemu?
2. Czy istnieje inny sposób na wykorzystanie modularnej arytmetyki do dowodu?
3. Jak można udowodnić brak rozwiązań dla