Para demostrar la igualdad $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n^2}{4}\right) \times (n + 1)^2$ por inducción matemática, seguimos estos pasos:

Paso 1: Base de la inducción

Primero, verificamos si la igualdad es cierta para $n = 1$.

$1^3 = 1$

$\left(\frac{1^2}{4}\right) \times (1 + 1)^2 = \left(\frac{1}{4}\right) \times 4 = 1$

La igualdad se cumple para $n = 1$.

Paso 2: Hipótesis de inducción

Supongamos que la igualdad es cierta para $n = k$, es decir,

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \left(\frac{k^2}{4}\right) \times (k + 1)^2$

Paso 3: Paso de inducción

Debemos demostrar que la igualdad también se cumple para $n = k + 1$, es decir, demostrar que

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \left(\frac{(k+1)^2}{4}\right) \times (k + 2)^2$

Utilizando la hipótesis de inducción:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \left(\frac{k^2}{4}\right) \times (k + 1)^2 + (k + 1)^3$

Agrupamos los términos que contienen $(k + 1)^2$:

$\left(\frac{k^2}{4}\right) \times (k + 1)^2 + (k + 1)^3 = (k + 1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + k + 1\right)$

Simplificamos la expresión dentro del paréntesis:

$(k + 1)^2 \left(\frac{k^2 + 4(k + 1)}{4}\right) = (k + 1)^2 \left(\frac{k^2 + 4k + 4}{4}\right) = (k + 1)^2 \left(\frac{(k + 2)^2}{4}\right)$

Finalmente, esto se simplifica a:

$\frac{(k + 1)^2}{4} \times (k + 2)^2$

Lo cual completa el paso de inducción.

Conclusión

Dado que hemos verificado la base de la inducción y hemos demostrado el paso de inducción, podemos concluir que la igualdad

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n^2}{4}\right) \times (n + 1)^2$

es cierta para todo $n \geq 1$.

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¿Quieres detalles adicionales sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se define la inducción matemática y en qué otros tipos de problemas se puede usar?
2. ¿Cuál es la importancia de verificar la base de inducción en la demostración?
3. ¿Qué pasa si la base de inducción no se cumple? ¿Qué implicaciones tendría?
4. ¿Cómo se podrían aplicar estos principios de inducción en otros campos fuera de las matemáticas?
5. ¿Cómo podrías adaptar este proceso de inducción para demostrar desigualdades?

Tip: La inducción matemática es una poderosa herramienta no solo en aritmética, sino también en teoría de números, combinatoria y algoritmos, permitiendo establecer resultados para un conjunto infinito de casos.