Begründen Sie formal (mit Hilfe der Potenzgesetze), warum gilt:
(an)−m=(a−n)m

Dabei gelte: a∈R und m,n∈N

Um formal zu begründen, warum \((a^n)^{-m} = (a^{-n})^m\) gilt, verwenden wir die Potenzgesetze. Dazu prüfen wir beide Seiten der Gleichung getrennt und zeigen, dass sie gleich sind.

**Linke Seite: \((a^n)^{-m}\)**

1. Anwenden des Potenzgesetzes für negative Exponenten: 
   \[
   (a^n)^{-m} = \frac{1}{(a^n)^m}
   \]

2. Anwenden des Potenzgesetzes für Potenzen:
   \[
   (a^n)^m = a^{n \cdot m}
   \]

3. Somit ergibt sich:
   \[
   (a^n)^{-m} = \frac{1}{a^{n \cdot m}} = a^{-(n \cdot m)}
   \]

**Rechte Seite: \((a^{-n})^m\)**

1. Anwenden des Potenzgesetzes für Potenzen:
   \[
   (a^{-n})^m = a^{-n \cdot m}
   \]

Da beide Seiten zu \(a^{-n \cdot m}\) führen, haben wir gezeigt, dass:
\[
(a^n)^{-m} = (a^{-n})^m
\]

Somit ist die Gleichung formal bewiesen.

Haben Sie Fragen oder möchten Sie weitere Details zu diesem Beweis?

Hier sind 5 weiterführende Fragen:

1. Wie würde der Beweis aussehen, wenn \(a\) eine negative Zahl wäre?
2. Wie kann man das Potenzgesetz für rationale Exponenten erweitern?
3. Wie beweist man die Potenzgesetze allgemein?
4. Was passiert, wenn man in \( (a^n)^{-m} = (a^{-n})^m \) den Exponenten \(m\) negativ wählt?
5. Wie lassen sich Potenzgesetze in komplexen Zahlen anwenden?

**Tipp:** Beim Arbeiten mit Potenzgesetzen ist es hilfreich, die Gesetze regelmäßig zu üben und auf verschiedene Typen von Exponenten anzuwenden, um ein tiefes Verständnis zu entwickeln.

Begründen Sie formal (mit Hilfe der Potenzgesetze), warum gilt: (an)−m=(a−n)m Dabei gelte: a∈R und m,n∈N

Learn how to formally prove using the laws of exponents that (a^n)^{-m} = (a^{-n})^m. This problem explores key algebraic concepts such as exponentiation and negative exponents, with detailed step-by-step reasoning. Suitable for students in Grades 9-12.

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