Um formal zu begründen, warum $(a^n)^{-m} = (a^{-n})^m$ gilt, verwenden wir die Potenzgesetze. Dazu prüfen wir beide Seiten der Gleichung getrennt und zeigen, dass sie gleich sind.

Linke Seite: $(a^n)^{-m}$

1. Anwenden des Potenzgesetzes für negative Exponenten: $(a^n)^{-m} = \frac{1}{(a^n)^m}$

2. Anwenden des Potenzgesetzes für Potenzen: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

3. Somit ergibt sich: $(a^n)^{-m} = \frac{1}{a^{n \cdot m}} = a^{-(n \cdot m)}$

Rechte Seite: $(a^{-n})^m$

1. Anwenden des Potenzgesetzes für Potenzen: $(a^{-n})^m = a^{-n \cdot m}$

Da beide Seiten zu $a^{-n \cdot m}$ führen, haben wir gezeigt, dass: $(a^n)^{-m} = (a^{-n})^m$

Somit ist die Gleichung formal bewiesen.

Haben Sie Fragen oder möchten Sie weitere Details zu diesem Beweis?

Hier sind 5 weiterführende Fragen:

1. Wie würde der Beweis aussehen, wenn $a$ eine negative Zahl wäre?
2. Wie kann man das Potenzgesetz für rationale Exponenten erweitern?
3. Wie beweist man die Potenzgesetze allgemein?
4. Was passiert, wenn man in $(a^n)^{-m} = (a^{-n})^m$ den Exponenten $m$ negativ wählt?
5. Wie lassen sich Potenzgesetze in komplexen Zahlen anwenden?

Tipp: Beim Arbeiten mit Potenzgesetzen ist es hilfreich, die Gesetze regelmäßig zu üben und auf verschiedene Typen von Exponenten anzuwenden, um ein tiefes Verständnis zu entwickeln.