Чтобы доказать дифференцируемость функции $f(x) = e^x$ в любой точке и найти её дифференциал и производную, рассмотрим следующее:

1. Определение дифференцируемости и нахождение производной функции $f(x) = e^x$

Функция $f(x) = e^x$ считается дифференцируемой в точке $x$, если существует предел $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}.$

Подставим $f(x) = e^x$: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x + \Delta x} - e^x}{\Delta x}.$ Используя свойство показательной функции, можем представить $e^{x + \Delta x}$ как $e^x \cdot e^{\Delta x}$: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^x \cdot e^{\Delta x} - e^x}{\Delta x}.$ Вынесем $e^x$ за скобку: $f'(x) = e^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}.$

Теперь воспользуемся известным пределом: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = 1.$ Тогда $f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x.$

2. Дифференциал функции $f(x) = e^x$

Дифференциал функции $f(x) = e^x$ обозначается как $df(x)$ или $dy$ и определяется как произведение производной функции на приращение аргумента $dx$: $df = f'(x) \, dx = e^x \, dx.$

Вывод

Таким образом, мы доказали, что функция $e^x$ дифференцируема в любой точке, и её производная равна $f'(x) = e^x$. Дифференциал функции $e^x$ равен $df = e^x \, dx$.

Хотите ли вы узнать дополнительные подробности или задать вопросы?

Вот несколько смежных вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как доказать, что производная функции $e^{kx}$ равна $ke^{kx}$, где $k$ — константа?
2. Какое геометрическое значение имеет производная функции $e^x$ в любой точке?
3. Почему функция $e^x$ является уникальной функцией, которая равна своей собственной производной?
4. Каким образом можно интерпретировать производную функции $e^x$ с точки зрения дифференциальных уравнений?
5. Как найти производные более сложных функций, включающих $e^x$, например $f(x) = x \cdot e^x$?

Совет: При изучении производных степенных функций старайтесь сразу применять свойства степеней и использовать стандартные пределы, чтобы быстрее упрощать выражения.