Для доказательства того, что функция $e^x$ дифференцируема в любой точке, и нахождения её дифференциала и производной, выполним следующий анализ.

Шаг 1: Показать, что $e^x$ дифференцируема

Функция $e^x$ — это экспоненциальная функция с основанием $e$, и она определяется как: $f(x) = e^x.$ Чтобы доказать, что функция дифференцируема, найдем предел приращения функции: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}.$

Шаг 2: Подставим значение функции в предел

Подставляем $f(x) = e^x$: $f(x + \Delta x) = e^{x + \Delta x} = e^x \cdot e^{\Delta x}.$ Тогда приращение функции будет равно: $f(x + \Delta x) - f(x) = e^x \cdot e^{\Delta x} - e^x = e^x (e^{\Delta x} - 1).$

Теперь подставим это в предел: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^x (e^{\Delta x} - 1)}{\Delta x}.$

Шаг 3: Вынесем $e^x$ за знак предела

Поскольку $e^x$ не зависит от $\Delta x$, его можно вынести за знак предела: $e^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}.$

Шаг 4: Найдем предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$

Известно, что $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = 1.$ Таким образом, $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = e^x \cdot 1 = e^x.$

Вывод: Производная функции $e^x$

Итак, производная функции $e^x$ равна: $f'(x) = e^x.$

Дифференциал функции $e^x$

Дифференциал функции $e^x$ определяется как $df = f'(x) \, dx$. Поскольку $f'(x) = e^x$, мы имеем: $df = e^x \, dx.$

Итог

1. Функция $e^x$ дифференцируема в любой точке.
2. Производная функции $e^x$: $f'(x) = e^x$.
3. Дифференциал функции $e^x$: $df = e^x \, dx$.

Хотите получить дополнительные пояснения или задать вопросы?

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Как показать, что $e^{kx}$ (где $k$ — константа) дифференцируема и найти её производную?
2. Каким образом можно использовать производную функции $e^x$ для нахождения производной сложной функции вида $e^{g(x)}$?
3. Почему предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = 1$ и как его можно доказать?
4. Как найти вторую и третью производные функции $e^x$ и что это значит для функции?
5. Какие свойства экспоненциальной функции можно использовать для упрощения вычислений в математическом анализе?

Совет: Помните, что функция $e^x$ уникальна тем, что её производная равна самой функции, что делает её очень полезной в математике и приложениях.