Diberikan pernyataan berikut ini:

Pernyataan: Jika $f$ diferensiabel dua kali di $a$ dan $g$ diferensiabel dua kali di $f(a)$, maka

$(g \circ f)(a) = g'(f(a)) f''(a) + g''(f(a)) (f'(a))^2$

Pemeriksaan Kebenaran Pernyataan

Untuk memeriksa kebenaran pernyataan tersebut, kita perlu menggunakan aturan rantai (chain rule) yang berlaku dalam kalkulus diferensial, khususnya ketika kita memiliki komposisi fungsi.

Langkah 1: Menyusun bentuk turunan pertama dari komposisi $g(f(x))$

Misalkan kita memiliki fungsi komposisi $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Kita ingin menghitung turunan pertama dan kedua dari komposisi ini.

1. Turunan pertama dari $g(f(x))$: Menggunakan aturan rantai untuk turunan pertama: $\frac{d}{dx} [g(f(x))] = g'(f(x)) \cdot f'(x)$

2. Turunan kedua dari $g(f(x))$: Menggunakan aturan rantai untuk turunan kedua, kita memiliki: [ \frac{d^2}{dx^2} [g(f(x))] = \frac{d}{dx} \left[ g'(f(x)) \cdot f'(x) \right] ]

   Sekarang, kita akan turunkan produk tersebut: $\frac{d}{dx} \left[ g'(f(x)) \cdot f'(x) \right] = g''(f(x)) \cdot (f'(x))^2 + g'(f(x)) \cdot f''(x)$

   Jadi, turunan kedua dari $g(f(x))$ adalah: $\frac{d^2}{dx^2} [g(f(x))] = g''(f(x)) (f'(x))^2 + g'(f(x)) f''(x)$

Langkah 2: Evaluasi di titik $x = a$

Jika kita evaluasi di titik $x = a$, kita mendapatkan: $\frac{d^2}{dx^2} [g(f(x))] \bigg|_{x=a} = g''(f(a)) (f'(a))^2 + g'(f(a)) f''(a)$

Kesimpulan

Ternyata, pernyataan yang diberikan dalam soal adalah benar. Bukti menunjukkan bahwa:

$\frac{d^2}{dx^2} [g(f(x))] \bigg|_{x=a} = g'(f(a)) f''(a) + g''(f(a)) (f'(a))^2$

Contoh Penyangkalan (Jika Pernyataan Salah)

Namun, jika pernyataan tersebut salah, maka penyangkalannya bisa diberikan dengan memilih fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ yang tidak memenuhi persamaan di atas.

Contoh penyangkalannya bisa berupa memilih fungsi yang tidak memiliki turunan dua kali atau yang hasil turunan kedua komposisinya berbeda dari bentuk yang diharapkan. Tetapi, dalam hal ini pernyataan tersebut benar, jadi penyangkalannya tidak diperlukan.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut tentang turunan komposisi atau ada pertanyaan lain?

Pertanyaan Lanjutan:

1. Apa itu aturan rantai dalam diferensiasi dan bagaimana cara kerjanya?
2. Apa yang dimaksud dengan diferensiasi dua kali (turunan kedua) dari sebuah fungsi?
3. Bagaimana cara mengevaluasi turunan komposisi di titik tertentu?
4. Apa contoh fungsi yang memiliki turunan kedua tetapi tidak memenuhi persamaan yang diberikan?
5. Mengapa penting memahami turunan komposisi dalam kalkulus multivariabel?

Tip: Untuk mempermudah pemahaman aturan rantai, cobalah mempraktikkan dengan contoh sederhana seperti $g(f(x)) = \sin(x^2)$, dan coba turunkan dua kali.