Докажем неравенство $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции

Проверим утверждение для $n = 1$: $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{3}}.$ Поскольку $\frac{1}{2} \approx 0.5$ и $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$, неравенство выполняется.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что неравенство верно для некоторого $n = k$, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2k-1}{2k} < \frac{1}{\sqrt{2k+1}}.$ Нам нужно показать, что это утверждение верно для $n = k + 1$, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k+3}}.$

Шаг 3: Переход к $n = k + 1$

Используя индукционное предположение, имеем: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k+1}} \cdot \frac{2k+1}{2k+2}.$ Нам нужно показать, что $\frac{1}{\sqrt{2k+1}} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k+3}}.$ Рассмотрим отношение $\frac{\frac{1}{\sqrt{2k+1}} \cdot \frac{2k+1}{2k+2}}{\frac{1}{\sqrt{2k+3}}} = \frac{\sqrt{2k+3}}{\sqrt{2k+1}} \cdot \frac{2k+1}{2k+2}.$ Докажем, что это выражение меньше 1: $\frac{\sqrt{2k+3}}{\sqrt{2k+1}} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} < 1.$ Упростим это неравенство: $\sqrt{\frac{2k+3}{2k+1}} < \frac{2k+2}{2k+1}.$ Возведем обе части в квадрат: $\frac{2k+3}{2k+1} < \frac{(2k+2)^2}{(2k+1)^2}.$ Упростив правую часть, мы получаем $\frac{2k+3}{2k+1} < \frac{4k^2 + 8k + 4}{4k^2 + 4k + 1},$ что является верным для всех $k \geq 1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n$.

Заключение

Мы доказали, что $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ для всех $n \geq 1$.

Есть ли у вас вопросы или хотите дополнительные пояснения?

1. Как доказывать неравенства другими методами?
2. Как использовать математическую индукцию для равенств?
3. Что такое принцип математической индукции?
4. Как обобщить доказательство для других типов произведений?
5. Как оценить сложность индукционных доказательств?

Совет: При доказательстве индукцией важно проверить базовый шаг, чтобы корректно запустить индукционное доказательство!