برای اثبات اینکه هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

فرض کنید زاویه $\angle BAC$ را داریم که قرار است نیمساز آن را بررسی کنیم. نیمساز زاویه $\angle BAC$ خطی است که این زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌کند.

1. تعریف نقطه روی نیمساز: فرض کنید نقطه‌ای $P$ روی نیمساز $AD$ (که نیمساز زاویه $\angle BAC$ است) قرار دارد. باید نشان دهیم که فاصله $P$ از دو ضلع $AB$ و $AC$ برابر است.

2. رسم پرpendicular (فاصله): از نقطه $P$ دو خط عمود به اضلاع $AB$ و $AC$ رسم کنید. فرض کنید این خطوط عمود نقاط $P_1$ و $P_2$ را روی $AB$ و $AC$ قطع می‌کنند. بنابراین: \text{فاصله P$از$AB: } d_1 = \text{طول } PP_1 \text{فاصله P$از$AC: } d_2 = \text{طول } PP_2 باید نشان دهیم $d_1 = d_2$.

3. استفاده از خاصیت نیمساز: از آنجایی که $AD$ نیمساز زاویه $\angle BAC$ است، طبق تعریف زاویه، داریم: $\angle PAD = \angle CAD$

4. اثبات تساوی فاصله‌ها: در مثلث‌های $\triangle PAD$ و $\triangle PCD$:

   • $\angle PAD = \angle CAD$ (به دلیل خاصیت نیمساز)
   • ضلع مشترک: $PD$ (به عنوان ضلع مشترک بین دو مثلث)
   • زاویه قائمه: زاویه‌های $\angle P_1$ و $\angle P_2$ قائمه هستند.

   بنابراین مثلث‌های $\triangle PAD$ و $\triangle PCD$ متساوی‌الاضلاع‌اند (شرایط برابری دو مثلث). پس داریم: $d_1 = d_2$

5. نتیجه: نشان دادیم که فاصله $P$ از $AB$ و $AC$ برابر است.

---

آیا نیاز به جزئیات بیشتر دارید یا سوالات دیگری درباره این اثبات دارید؟

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توان مفهوم فاصله نقطه از یک خط را با استفاده از مختصات تعریف کرد؟
2. آیا این خاصیت برای نیمساز زاویه خارجی هم صدق می‌کند؟
3. چگونه می‌توان اثبات مشابهی را برای زاویه‌های غیر محدب ارائه داد؟
4. نقش تقارن در این اثبات چیست و چگونه می‌توان آن را بیشتر توضیح داد؟
5. آیا این خاصیت در فضاهای سه‌بعدی هم صدق می‌کند؟

نکته: برای هر اثبات هندسی، استفاده از رسم دقیق می‌تواند فهم و درک مسئله را ساده‌تر کند.