Math Problem Statement
löse die aufgabe 3a rechnerisch
Solution
Aufgabe 3a: Rechnerische Lösung
Aufgabe: Beweis, dass wenn die Reihe absolut konvergiert, dann auch absolut konvergiert.
Lösung:
-
Definition der absoluten Konvergenz:
Eine Reihe konvergiert absolut, wenn
-
Folgerung für die Quadrate :
Da für große (wegen der absoluten Konvergenz der Reihe ), folgt: -
Vergleich mit der ursprünglichen Reihe:
Die Reihe ist kleiner oder gleich der Reihe , da für alle :
-
Vergleichskriterium:
Nach dem Vergleichskriterium für Reihen:
Wenn konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe (da und die Summanden summierbar sind). -
Fazit:
Daraus folgt, dass die Reihe absolut konvergiert, wenn absolut konvergiert.
Falls Sie mehr Details oder weitere Beispiele benötigen, lassen Sie es mich wissen!
Verwandte Fragen:
- Was ist der Unterschied zwischen absoluter und bedingter Konvergenz?
- Welche Vergleichskriterien eignen sich für den Nachweis der Konvergenz?
- Was passiert, wenn , aber nicht absolut konvergiert?
- Kann eine Reihe mit divergieren?
- Wie verwendet man das Majorantenkriterium für Reihen?
Tipp: Für viele Konvergenztests ist die Grenzwertbetrachtung entscheidend.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Series and Convergence
Absolute Convergence
Comparison Test
Formulas
Sum of absolute values for absolute convergence: \(\sum_{k=0}^\infty |a_k| < \infty\)
Squared terms: \(\sum_{k=0}^\infty |a_k^2| \leq \sum_{k=0}^\infty |a_k|\)
Theorems
Absolute convergence implies convergence for \(a_k^2\) using comparison
Suitable Grade Level
University Level (Advanced Calculus or Real Analysis)
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