Math Problem Statement

löse die aufgabe 3a rechnerisch

löse die aufgabe 3a rechnerisch

Solution

Aufgabe 3a: Rechnerische Lösung

Aufgabe: Beweis, dass wenn die Reihe k=0ak\sum_{k=0}^\infty a_k absolut konvergiert, dann auch k=0ak2\sum_{k=0}^\infty a_k^2 absolut konvergiert.


Lösung:

  1. Definition der absoluten Konvergenz:
    Eine Reihe k=0ak\sum_{k=0}^\infty a_k konvergiert absolut, wenn
    k=0ak<.\sum_{k=0}^\infty |a_k| < \infty.

  2. Folgerung für die Quadrate ak2a_k^2:
    Da ak<1|a_k| < 1 für große kk (wegen der absoluten Konvergenz der Reihe ak\sum |a_k|), folgt: ak2=akak<ak.|a_k^2| = |a_k| \cdot |a_k| < |a_k|.

  3. Vergleich mit der ursprünglichen Reihe:
    Die Reihe k=0ak2\sum_{k=0}^\infty |a_k^2| ist kleiner oder gleich der Reihe k=0ak\sum_{k=0}^\infty |a_k|, da für alle kk:
    ak2=ak2ak.|a_k^2| = |a_k|^2 \leq |a_k|.

  4. Vergleichskriterium:
    Nach dem Vergleichskriterium für Reihen:
    Wenn k=0ak\sum_{k=0}^\infty |a_k| konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe k=0ak2\sum_{k=0}^\infty |a_k^2| (da ak2ak|a_k^2| \leq |a_k| und die Summanden ak|a_k| summierbar sind).

  5. Fazit:
    Daraus folgt, dass die Reihe k=0ak2\sum_{k=0}^\infty a_k^2 absolut konvergiert, wenn k=0ak\sum_{k=0}^\infty a_k absolut konvergiert.


Falls Sie mehr Details oder weitere Beispiele benötigen, lassen Sie es mich wissen!


Verwandte Fragen:

  1. Was ist der Unterschied zwischen absoluter und bedingter Konvergenz?
  2. Welche Vergleichskriterien eignen sich für den Nachweis der Konvergenz?
  3. Was passiert, wenn ak0a_k \to 0, aber ak\sum a_k nicht absolut konvergiert?
  4. Kann eine Reihe mit ak20a_k^2 \to 0 divergieren?
  5. Wie verwendet man das Majorantenkriterium für Reihen?

Tipp: Für viele Konvergenztests ist die Grenzwertbetrachtung limkak\lim_{k \to \infty} |a_k| entscheidend.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Series and Convergence
Absolute Convergence
Comparison Test

Formulas

Sum of absolute values for absolute convergence: \(\sum_{k=0}^\infty |a_k| < \infty\)
Squared terms: \(\sum_{k=0}^\infty |a_k^2| \leq \sum_{k=0}^\infty |a_k|\)

Theorems

Absolute convergence implies convergence for \(a_k^2\) using comparison

Suitable Grade Level

University Level (Advanced Calculus or Real Analysis)