Math Problem Statement
cho a,b,c là các số nguyên thoả mãn a^2+b^2+c^2-2ab chia hết cho 6 chứng minh abc chia hết cho 54
Solution
Ta cần chứng minh rằng nếu là các số nguyên thỏa mãn điều kiện:
thì chia hết cho 54.
Bước 1: Giải phương trình modulo 6
Đầu tiên, xét điều kiện . Ta có thể viết lại biểu thức này thành:
Do đó, điều kiện trở thành:
Ta cần xét các trường hợp của và modulo 6.
Bước 2: Xét các giá trị của các bình phương modulo 6
Các số nguyên modulo 6 có thể có các giá trị sau khi bình phương:
Ta tính các bình phương:
Do đó, các giá trị có thể có của là .
Bước 3: Xét các trường hợp của
- Nếu , thì , nghĩa là phải chia hết cho 6.
- Nếu , thì , điều này là không thể vì không có số nguyên nào có bình phương modulo 6 bằng 5.
- Nếu , thì , điều này chỉ có thể xảy ra khi .
- Nếu , thì , điều này là không thể vì không có số nguyên nào có bình phương modulo 6 bằng 2.
Từ đó, ta rút ra rằng phải chia hết cho 6 hoặc .
Bước 4: Xét điều kiện chia hết cho 54
Ta biết rằng , vì vậy cần chứng minh rằng chia hết cho 2 và .
- Chia hết cho 2: Từ bước trước, ta đã có chia hết cho 6, điều này đảm bảo rằng chia hết cho 2.
- Chia hết cho : Do , tức là chia hết cho 3. Ta cũng cần chứng minh rằng và phải chia hết cho 3. Vì , nếu , thì , nghĩa là . Điều này cho thấy rằng và phải đồng dư modulo 3, và ít nhất một trong chúng phải chia hết cho 3. Do đó, chia hết cho .
Kết luận
Từ những điều trên, ta chứng minh được rằng chia hết cho .
Các câu hỏi mở rộng
- Tại sao điều kiện lại giúp ta chứng minh rằng chia hết cho 54?
- Có thể chứng minh rằng nếu thỏa mãn điều kiện khác, có thể chia hết cho các số khác không?
- Điều kiện nào khác có thể thay thế cho điều kiện ?
- Cách chứng minh này có thể áp dụng cho các số nguyên không chia hết cho 6 không?
- Tại sao các bình phương modulo 6 lại có những giá trị đặc biệt như vậy?
Tip: Để giải quyết bài toán tương tự, hãy bắt đầu với việc kiểm tra các trường hợp modulo của các biến và sử dụng các tính chất chia hết của các số nguyên.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Algebra
Modular Arithmetic
Number Theory
Formulas
a^2 + b^2 + c^2 - 2ab ≡ 0 (mod 6)
abc must be divisible by 54
Theorems
Modular Arithmetic Theorem
Divisibility Rules
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Solve a² + b² + c² - 2ab = 6 for integers a, b, and c
Prove that either a or b is divisible by 3 in a^2 + b^2 = c^2
Existence of Integer Solutions for ab^2c+2, bc^2+2, ca^2+2 as Perfect Squares
Solution to Simultaneous Linear Congruences (n ≡ a (mod 4), n ≡ b (mod 7), n ≡ c (mod 28))
Proof: If n^2 is a Multiple of 3, Then n is a Multiple of 3