Math Problem Statement

cho a,b,c là các số nguyên thoả mãn a^2+b^2+c^2-2ab chia hết cho 6 chứng minh abc chia hết cho 54

Solution

Ta cần chứng minh rằng nếu a,b,ca, b, c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện:

a2+b2+c22ab0(mod6)a^2 + b^2 + c^2 - 2ab \equiv 0 \pmod{6}

thì abcabc chia hết cho 54.

Bước 1: Giải phương trình modulo 6

Đầu tiên, xét điều kiện a2+b2+c22ab0(mod6)a^2 + b^2 + c^2 - 2ab \equiv 0 \pmod{6}. Ta có thể viết lại biểu thức này thành:

a2+b2+c22ab=(ab)2+c2a^2 + b^2 + c^2 - 2ab = (a-b)^2 + c^2

Do đó, điều kiện trở thành:

(ab)2+c20(mod6)(a - b)^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{6}

Ta cần xét các trường hợp của (ab)2(a-b)^2c2c^2 modulo 6.

Bước 2: Xét các giá trị của các bình phương modulo 6

Các số nguyên modulo 6 có thể có các giá trị sau khi bình phương:

x2(mod6)vớix=0,1,2,3,4,5x^2 \pmod{6} \quad \text{với} \quad x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Ta tính các bình phương:

  • 020(mod6)0^2 \equiv 0 \pmod{6}
  • 121(mod6)1^2 \equiv 1 \pmod{6}
  • 224(mod6)2^2 \equiv 4 \pmod{6}
  • 3293(mod6)3^2 \equiv 9 \equiv 3 \pmod{6}
  • 42164(mod6)4^2 \equiv 16 \equiv 4 \pmod{6}
  • 52251(mod6)5^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod{6}

Do đó, các giá trị có thể có của x2(mod6)x^2 \pmod{6}0,1,3,40, 1, 3, 4.

Bước 3: Xét các trường hợp của (ab)2+c20(mod6)(a-b)^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{6}

  • Nếu (ab)20(mod6)(a-b)^2 \equiv 0 \pmod{6}, thì c20(mod6)c^2 \equiv 0 \pmod{6}, nghĩa là cc phải chia hết cho 6.
  • Nếu (ab)21(mod6)(a-b)^2 \equiv 1 \pmod{6}, thì c25(mod6)c^2 \equiv 5 \pmod{6}, điều này là không thể vì không có số nguyên nào có bình phương modulo 6 bằng 5.
  • Nếu (ab)23(mod6)(a-b)^2 \equiv 3 \pmod{6}, thì c23(mod6)c^2 \equiv 3 \pmod{6}, điều này chỉ có thể xảy ra khi c3(mod6)c \equiv 3 \pmod{6}.
  • Nếu (ab)24(mod6)(a-b)^2 \equiv 4 \pmod{6}, thì c22(mod6)c^2 \equiv 2 \pmod{6}, điều này là không thể vì không có số nguyên nào có bình phương modulo 6 bằng 2.

Từ đó, ta rút ra rằng cc phải chia hết cho 6 hoặc c3(mod6)c \equiv 3 \pmod{6}.

Bước 4: Xét điều kiện abcabc chia hết cho 54

Ta biết rằng 54=2×3354 = 2 \times 3^3, vì vậy cần chứng minh rằng abcabc chia hết cho 2 và 333^3.

  • Chia hết cho 2: Từ bước trước, ta đã có cc chia hết cho 6, điều này đảm bảo rằng abcabc chia hết cho 2.
  • Chia hết cho 333^3: Do c0(mod6)c \equiv 0 \pmod{6}, tức là cc chia hết cho 3. Ta cũng cần chứng minh rằng aabb phải chia hết cho 3. Vì (ab)2+c20(mod6)(a - b)^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{6}, nếu c0(mod6)c \equiv 0 \pmod{6}, thì (ab)20(mod6)(a - b)^2 \equiv 0 \pmod{6}, nghĩa là ab(mod3)a \equiv b \pmod{3}. Điều này cho thấy rằng aabb phải đồng dư modulo 3, và ít nhất một trong chúng phải chia hết cho 3. Do đó, abcabc chia hết cho 333^3.

Kết luận

Từ những điều trên, ta chứng minh được rằng abcabc chia hết cho 5454.

Các câu hỏi mở rộng

  1. Tại sao điều kiện (ab)2+c20(mod6)(a-b)^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{6} lại giúp ta chứng minh rằng abcabc chia hết cho 54?
  2. Có thể chứng minh rằng nếu a,b,ca, b, c thỏa mãn điều kiện khác, abcabc có thể chia hết cho các số khác không?
  3. Điều kiện nào khác có thể thay thế cho điều kiện a2+b2+c22ab0(mod6)a^2 + b^2 + c^2 - 2ab \equiv 0 \pmod{6}?
  4. Cách chứng minh này có thể áp dụng cho các số nguyên không chia hết cho 6 không?
  5. Tại sao các bình phương modulo 6 lại có những giá trị đặc biệt như vậy?

Tip: Để giải quyết bài toán tương tự, hãy bắt đầu với việc kiểm tra các trường hợp modulo của các biến và sử dụng các tính chất chia hết của các số nguyên.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
Modular Arithmetic
Number Theory

Formulas

a^2 + b^2 + c^2 - 2ab ≡ 0 (mod 6)
abc must be divisible by 54

Theorems

Modular Arithmetic Theorem
Divisibility Rules

Suitable Grade Level

Grades 10-12