برای حل این مسئله، ابتدا باید اصول حفظ تکانه و معادلات حرکت را به کار بگیریم.

اطلاعات اولیه:

1. سرعت اولیه گلوله ($v_0$) = $20 \, \text{m/s}$
2. زاویه پرتاب ($\theta$) = $60^\circ$
3. در بالاترین نقطه پرتاب، سرعت عمودی صفر است و فقط سرعت افقی وجود دارد.
4. جرم گلوله به دو بخش مساوی تقسیم می‌شود.
5. یکی از بخش‌ها بلافاصله پس از انفجار سقوط عمودی می‌کند ($v = 0$).

---

مراحل حل:

1. سرعت در بالاترین نقطه

در بالاترین نقطه:

• سرعت عمودی ($v_y$) صفر است.
• سرعت افقی گلوله:
  $v_x = v_0 \cos\theta = 20 \cos(60^\circ) = 20 \cdot 0.5 = 10 \, \text{m/s}$

2. اصل پایستگی تکانه

از قانون پایستگی تکانه در جهت افقی، قبل و بعد از انفجار استفاده می‌کنیم. فرض می‌کنیم جرم اولیه گلوله $M$ باشد. جرم هر پاره برابر $M/2$ است.

$M v_x = \frac{M}{2} \cdot 0 + \frac{M}{2} \cdot v_{\text{part2}}$

از اینجا، سرعت افقی پاره دوم ($v_{\text{part2}}$) به صورت زیر به دست می‌آید: $v_{\text{part2}} = 2 v_x = 2 \cdot 10 = 20 \, \text{m/s}$

3. محاسبه حرکت پاره دوم

پاره دوم با سرعت افقی $20 \, \text{m/s}$ و در ارتفاعی برابر با ارتفاع بالاترین نقطه پرتاب حرکت می‌کند.

زمان سقوط پاره دوم:

از فرمول ارتفاع در پرتاب قائم برای پیدا کردن زمان سقوط استفاده می‌کنیم: $h = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$ $h = \frac{20^2 \cdot (\sin 60^\circ)^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{400 \cdot 0.75}{19.6} \approx 15.31 \, \text{m}$

زمان سقوط از ارتفاع $h$: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 15.31}{9.8}} \approx 1.76 \, \text{s}$

فاصله افقی طی‌شده:

پاره دوم با سرعت افقی $20 \, \text{m/s}$ و در زمان $t = 1.76 \, \text{s}$ حرکت می‌کند: $x = v_{\text{part2}} \cdot t = 20 \cdot 1.76 \approx 35.2 \, \text{m}$

پاسخ نهایی:

پاره دوم در فاصله $35.2 \, \text{m}$ از توپ به زمین برخورد می‌کند.

---

سوالات مرتبط:

1. چرا در بالاترین نقطه فقط سرعت افقی داریم؟
2. چگونه از پایستگی تکانه برای تحلیل استفاده کردیم؟
3. چرا یکی از پاره‌ها سقوط عمودی کرد؟
4. آیا گرانش بر حرکت افقی پاره دوم تأثیر داشت؟
5. چگونه زمان سقوط از ارتفاع محاسبه شد؟

نکته:

در تحلیل پرتابه‌ها، همیشه تفکیک حرکت افقی و عمودی بسیار مهم است، زیرا این دو به صورت مستقل از یکدیگر عمل می‌کنند.