題目翻譯（中文）：

問題 11
一名馬戲團特技演員通過彈射器以 15 m/s 的速度發射，發射角度為 40°（相對於水平方向）。距離彈射點 20 m 處，特技演員的夥伴站在一個高��為 h 米的平台上。在特技演員發射的瞬間，夥伴以 5 m/s 的水平速度向她拋出籃球。忽略空氣阻力來解決這個問題。

1. (a) 為特技演員和籃球分別寫出水平和垂直位置隨時間變化的方程，並保持坐標系一致。
2. (b) 特技演員和籃球何時會在相同的水平位置？
3. (c) 找出平台高度 h，使得特技演員能夠接住籃球。假設特技演員和籃球必須在相同高度才能接住籃球。
4. (d) 計算籃球相對於特技演員的速度大小（在她接住籃球的瞬間）。

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解題步驟：

(a) 位置方程

1. 特技演員的水平和垂直位置：

   • 水平方向：
     $x_a(t) = v_{a0} \cos\theta \cdot t$
     $v_{a0} = 15 \, m/s$, $\theta = 40^\circ$。
   • 垂直方向：
     $y_a(t) = v_{a0} \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$
     $g = 9.8 \, m/s^2$。

2. 籃球的水平和垂直位置：

   • 水平方向：
     $x_b(t) = 20 - v_b \cdot t$
     $v_b = 5 \, m/s$。
   • 垂直方向：
     $y_b(t) = h$（籃球保持水平運動，因此垂直位置不變）。

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(b) 水平位置相等的時間

特技演員和籃球在水平位置相等時，
$x_a(t) = x_b(t)$。
代入公式，得到： $v_{a0} \cos\theta \cdot t = 20 - v_b \cdot t$
整理： $t \cdot (v_{a0} \cos\theta + v_b) = 20$
$t = \frac{20}{v_{a0} \cos\theta + v_b}$
將 $v_{a0} = 15 \, m/s$, $\theta = 40^\circ$, $v_b = 5 \, m/s$ 代入： $t = \frac{20}{15 \cos 40^\circ + 5}$
計算得： $t \approx 1.06 \, \text{秒}$

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(c) 計算高度 $h$

特技演員和籃球在相同時間內需達到相同的垂直位置，
$y_a(t) = y_b(t)$。
代入公式： $v_{a0} \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = h$
將 $t \approx 1.06 \, s$ 代入，並使用已知數據計算： $h = 15 \sin 40^\circ \cdot 1.06 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (1.06)^2$
計算得： $h \approx 4.57 \, \text{米}$

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(d) 相對速度的大小

在接住籃球的瞬間，相對速度為兩者速度之差的大小。
籃球的速度只有水平分量：
$v_b = 5 \, m/s$。
特技演員的水平速度為： $v_{ax} = v_{a0} \cos\theta$
垂直速度為： $v_{ay} = v_{a0} \sin\theta - g \cdot t$
計算得：

• $v_{ax} = 15 \cos 40^\circ \approx 11.49 \, m/s$
• $v_{ay} = 15 \sin 40^\circ - 9.8 \cdot 1.06 \approx -0.4 \, m/s$

相對速度大小為： $v_\text{relative} = \sqrt{(v_{ax} - v_b)^2 + v_{ay}^2}$
代入數據： $v_\text{relative} = \sqrt{(11.49 - 5)^2 + (-0.4)^2} \approx 6.51 \, m/s$

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答案：

1. (a) 水平和垂直位置方程如上所述。
2. (b) 水平位置相等的時間為 $t \approx 1.06 \, \text{秒}$。
3. (c) 平台高度為 $h \approx 4.57 \, \text{米}$。
4. (d) 相對速度的大小為 $v_\text{relative} \approx 6.51 \, \text{m/s}$。

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延伸問題：

1. 若空氣阻力不忽略，如何修改位置方程？
2. 如果改變籃球拋出的水平速度，平台高度 $h$ 如何改變？
3. 若特技演員的發射速度提高到 $20 \, m/s$，是否能接住籃球？
4. 若 $h = 3 \, m$，特技演員和籃球是否會相遇？
5. 如果籃球不是水平拋出，而是以角度 $\phi$ 拋出，如何調整計算？

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提示：

計算拋體運動時，始終將水平和垂直運動分開處理，並保持時間 $t$ 的一致性。