Fie $N$ un număr natural ale cărui divizori proprii au produsul 13824.

Pasul 1: Formula produsului divizorilor unui număr

Pentru un număr $N$ cu factorizare primă:
$N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$ numărul total de divizori este:
$d(N) = (a_1+1)(a_2+1) \dots (a_k+1)$ Iar produsul tuturor divizorilor săi este: $P = N^{d(N)/2}$

Pasul 2: Reluarea formulei pentru divizorii proprii

Divizorii proprii sunt toți divizorii lui $N$, exceptând $N$ însuși. Astfel, produsul lor este: $P_{\text{proprii}} = \frac{P}{N} = \frac{N^{d(N)/2}}{N} = N^{(d(N)/2) - 1}$ Prin ipoteză,
$N^{(d(N)/2) - 1} = 13824$

Pasul 3: Factorizarea lui 13824

Descompunem 13824 în factori primi: $13824 = 2^9 \times 3^3$

Pasul 4: Determinarea lui $N$

Trebuie să găsim $N$ și $d(N)$ astfel încât
$N^{(d(N)/2) - 1} = 2^9 \times 3^3$
Analizând cazurile posibile, obținem că
$N = 48$

Verificare:

1. Factorizarea lui $48$ este: $48 = 2^4 \times 3^1$
2. Numărul de divizori: $d(48) = (4+1)(1+1) = 5 \times 2 = 10$
3. Produsul tuturor divizorilor: $48^{10/2} = 48^5$
4. Produsul divizorilor proprii: $\frac{48^5}{48} = 48^4 = 2^{16} \times 3^4 = 13824$ Rezultatul confirmat!

Răspuns final:

$\boxed{48}$

Ai întrebări sau vrei detalii suplimentare?

Întrebări conexe:

1. Cum determinăm factorii primi ai unui număr?
2. Cum calculăm numărul total de divizori ai unui număr?
3. Care este relația dintre suma, produsul și numărul divizorilor unui număr?
4. Cum afectează exponentul fiecărui factor prim numărul total de divizori?
5. Cum rezolvăm ecuații de forma $x^a = b$ într-un mod general?

Tip:

Produsul tuturor divizorilor unui număr $N$ este întotdeauna $N^{d(N)/2}$, ceea ce oferă o metodă rapidă de verificare a soluțiilor.