Для того чтобы определить возможные значения вероятности пересечения событий $A \cap B$, обозначим эту вероятность как $P(A \cap B) = r$. По основным свойствам теории вероятностей:

1. Вероятность пересечения двух событий $A \cap B$ не может превышать вероятности каждого из этих событий, то есть: $r \leq \min(p, q).$

2. Вероятность пересечения событий не может быть меньше нуля: $r \geq 0.$

3. В то же время, вероятность пересечения событий не может быть больше вероятности любого из них, что ограничивает её сверху. Таким образом: $r \leq \min(p, q).$

4. Кроме того, вероятность пересечения событий должна быть такой, чтобы выполнялось условие для вероятности объединения событий $A \cup B$: $P(A \cup B) = p + q - r \leq 1.$ Отсюда получаем: $r \geq p + q - 1.$

Итак, возможные значения вероятности пересечения $r$ находятся в интервале: $\max(0, p + q - 1) \leq r \leq \min(p, q).$

Примеры:

1. Если $p = 0.4$ и $q = 0.6$, то $0 \leq r \leq 0.4$ и $r \geq 0$. Таким образом, $0 \leq r \leq 0.4$.
2. Если $p = 0.7$ и $q = 0.8$, то $0.5 \leq r \leq 0.7$.

Пожалуйста, дайте знать, если вам нужно больше деталей или есть вопросы. Вот 5 связанных вопросов:

1. Какую вероятность имеет объединение событий $A \cup B$?
2. Каковы условия независимости событий $A$ и $B$?
3. Что такое условная вероятность и как она связана с пересечением событий?
4. Как вычислить вероятность пересечения для несовместимых событий?
5. Какие свойства имеет вероятность пересечения трёх и более событий?

Совет: Вероятность пересечения $A \cap B$ часто используется в задачах на нахождение совместной вероятности двух зависимых событий.