Uma empresa de consultoria em informática oferece seus serviços para três empresas. Seja Ai
o evento "a empresa i contratou os serviços da consultoria". Suponha que P(A1)=0,23, P(A2)=0,4 , P(A3)=0,28, P(A1∩A2)=0,12, P(A1∩A3)=0,14, P(A2∩A3)=0,15 e P(A1∩A2∩A3)=0,05. Utilizando 2 casas decimais e a vírgula como separador decimal, determine a probabilidade dos seguintes eventos:
a. Pelo menos uma entre a empresa 1 e a empresa 2 contratou os serviços da consultoria
b. Nenhuma das duas primeiras empresas contratou os serviços da consultoria.
c. Pelo menos uma das três empresas contratou os serviços da consultoria.
d. Nenhuma das três empresas contratou os serviços da consultoria.
e. Somente a terceira empresa contratou os serviços da consultoria.
f. Ou as duas primeiras não contrataram ou a terceira empresa contratou os serviços da consultoria.

Vamos resolver cada item utilizando as probabilidades dadas. Os eventos \(A_1\), \(A_2\), e \(A_3\) representam as empresas 1, 2 e 3 contratando os serviços de consultoria, respectivamente.

### a. Pelo menos uma entre a empresa 1 e a empresa 2 contratou os serviços da consultoria.
Este evento é representado pela união dos eventos \(A_1\) e \(A_2\):
\[
P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)
\]
Substituindo os valores:
\[
P(A_1 \cup A_2) = 0{,}23 + 0{,}40 - 0{,}12 = 0{,}51
\]

### b. Nenhuma das duas primeiras empresas contratou os serviços da consultoria.
Este evento é o complemento de \(A_1 \cup A_2\):
\[
P(\overline{A_1 \cup A_2}) = 1 - P(A_1 \cup A_2)
\]
\[
P(\overline{A_1 \cup A_2}) = 1 - 0{,}51 = 0{,}49
\]

### c. Pelo menos uma das três empresas contratou os serviços da consultoria.
Este evento é representado pela união dos eventos \(A_1\), \(A_2\), e \(A_3\):
\[
P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)
\]
Substituindo os valores:
\[
P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 0{,}23 + 0{,}40 + 0{,}28 - 0{,}12 - 0{,}14 - 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}55
\]

### d. Nenhuma das três empresas contratou os serviços da consultoria.
Este evento é o complemento de \(A_1 \cup A_2 \cup A_3\):
\[
P(\overline{A_1 \cup A_2 \cup A_3}) = 1 - P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)
\]
\[
P(\overline{A_1 \cup A_2 \cup A_3}) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45
\]

### e. Somente a terceira empresa contratou os serviços da consultoria.
Esse evento ocorre quando \(A_3\) ocorre e \(A_1\) e \(A_2\) não ocorrem. Então precisamos calcular:
\[
P(A_3 \cap \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = P(A_3) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)
\]
Substituindo os valores:
\[
P(A_3 \cap \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 0{,}28 - 0{,}14 - 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}04
\]

### f. Ou as duas primeiras não contrataram ou a terceira empresa contratou os serviços da consultoria.
Esse evento pode ser escrito como:
\[
P((\overline{A_1 \cup A_2}) \cup A_3) = P(\overline{A_1 \cup A_2}) + P(A_3) - P(\overline{A_1 \cup A_2} \cap A_3)
\]
Sabemos que:
\[
P(\overline{A_1 \cup A_2} \cap A_3) = P(A_3) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0{,}04
\]
Então:
\[
P((\overline{A_1 \cup A_2}) \cup A_3) = 0{,}49 + 0{,}28 - 0{,}04 = 0{,}73
\]

### Resumo das respostas:
a. \( P(A_1 \cup A_2) = 0{,}51 \)

b. \( P(\overline{A_1 \cup A_2}) = 0{,}49 \)

c. \( P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 0{,}55 \)

d. \( P(\overline{A_1 \cup A_2 \cup A_3}) = 0{,}45 \)

e. \( P(A_3 \cap \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 0{,}04 \)

f. \( P((\overline{A_1 \cup A_2}) \cup A_3) = 0{,}73 \)

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, estou à disposição!

### Perguntas Relacionadas:
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8. Como a teoria da probabilidade pode ser aplicada na tomada de decisões empresariais?

#### Dica:
Sempre verifique se os eventos são independentes ou mutuamente exclusivos antes de aplicar fórmulas de probabilidade, para evitar erros de cálculo.

Learn how to calculate probabilities for consultancy services contracts among three companies using set theory and probability rules. Explore scenarios including at least one company contracting services, none of the first two companies contracting, and specific company exclusions. Detailed solutions provided.

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