Vamos resolver cada item utilizando as probabilidades dadas. Os eventos $A_1$, $A_2$, e $A_3$ representam as empresas 1, 2 e 3 contratando os serviços de consultoria, respectivamente.

a. Pelo menos uma entre a empresa 1 e a empresa 2 contratou os serviços da consultoria.

Este evento é representado pela união dos eventos $A_1$ e $A_2$: $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$ Substituindo os valores: $P(A_1 \cup A_2) = 0{,}23 + 0{,}40 - 0{,}12 = 0{,}51$

b. Nenhuma das duas primeiras empresas contratou os serviços da consultoria.

Este evento é o complemento de $A_1 \cup A_2$: $P(\overline{A_1 \cup A_2}) = 1 - P(A_1 \cup A_2)$ $P(\overline{A_1 \cup A_2}) = 1 - 0{,}51 = 0{,}49$

c. Pelo menos uma das três empresas contratou os serviços da consultoria.

Este evento é representado pela união dos eventos $A_1$, $A_2$, e $A_3$: $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$ Substituindo os valores: $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 0{,}23 + 0{,}40 + 0{,}28 - 0{,}12 - 0{,}14 - 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}55$

d. Nenhuma das três empresas contratou os serviços da consultoria.

Este evento é o complemento de $A_1 \cup A_2 \cup A_3$: $P(\overline{A_1 \cup A_2 \cup A_3}) = 1 - P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)$ $P(\overline{A_1 \cup A_2 \cup A_3}) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45$

e. Somente a terceira empresa contratou os serviços da consultoria.

Esse evento ocorre quando $A_3$ ocorre e $A_1$ e $A_2$ não ocorrem. Então precisamos calcular: $P(A_3 \cap \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = P(A_3) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$ Substituindo os valores: $P(A_3 \cap \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 0{,}28 - 0{,}14 - 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}04$

f. Ou as duas primeiras não contrataram ou a terceira empresa contratou os serviços da consultoria.

Esse evento pode ser escrito como: $P((\overline{A_1 \cup A_2}) \cup A_3) = P(\overline{A_1 \cup A_2}) + P(A_3) - P(\overline{A_1 \cup A_2} \cap A_3)$ Sabemos que: $P(\overline{A_1 \cup A_2} \cap A_3) = P(A_3) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0{,}04$ Então: $P((\overline{A_1 \cup A_2}) \cup A_3) = 0{,}49 + 0{,}28 - 0{,}04 = 0{,}73$

Resumo das respostas:

a. $P(A_1 \cup A_2) = 0{,}51$

b. $P(\overline{A_1 \cup A_2}) = 0{,}49$

c. $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = 0{,}55$

d. $P(\overline{A_1 \cup A_2 \cup A_3}) = 0{,}45$

e. $P(A_3 \cap \overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 0{,}04$

f. $P((\overline{A_1 \cup A_2}) \cup A_3) = 0{,}73$

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, estou à disposição!

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Dica:

Sempre verifique se os eventos são independentes ou mutuamente exclusivos antes de aplicar fórmulas de probabilidade, para evitar erros de cálculo.