Vi definierar den binomialfördelade stokastiska variabeln $X$ som antalet personer i kursen som har egenskapen $A$. Eftersom varje individ oberoende har sannolikheten $p = 0.0026$ att ha egenskapen $A$ och det finns $n = 350$ personer i kursen, har vi:

$X \sim \text{Bin}(n=350, p=0.0026)$

(a) Förväntat antal personer med egenskapen $A$

Medelvärdet för en binomialfördelning ges av:

$E(X) = n \cdot p = 350 \cdot 0.0026$

$E(X) = 0.91$

Så vi förväntar oss i genomsnitt 0.91 personer med egenskapen $A$.

---

(b) Standardavvikelsen för antalet med $A$

Standardavvikelsen ges av:

$\sigma_X = \sqrt{n p (1 - p)}$

$\sigma_X = \sqrt{350 \cdot 0.0026 \cdot (1 - 0.0026)}$

$\sigma_X \approx 1.51$

Så standardavvikelsen är 1.51.

---

(c) Sannolikheten att ingen har egenskapen $A$

Vi beräknar $P(X = 0)$ med binomialfördelningens sannolikhetsfunktion:

$P(X = 0) = \binom{350}{0} (0.0026)^0 (1 - 0.0026)^{350}$

$P(X = 0) = (1 - 0.0026)^{350}$

$P(X = 0) \approx e^{-E(X)} = e^{-0.91}$

$P(X = 0) \approx 0.403$

Så sannolikheten att ingen har egenskapen $A$ är 0.403.

---

(d) Sannolikheten att minst två personer har egenskapen $A$

Vi beräknar $P(X \geq 2)$ med komplementregeln:

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

Redan beräknat: $P(X = 0) \approx 0.403$.

Nu beräknar vi $P(X = 1)$:

$P(X = 1) = \binom{350}{1} (0.0026)^1 (1 - 0.0026)^{349}$

$P(X = 1) = 350 \cdot 0.0026 \cdot (1 - 0.0026)^{349}$

$P(X = 1) \approx 0.371$

$P(X \geq 2) = 1 - 0.403 - 0.371 = 0.226$

Så sannolikheten att minst två personer har egenskapen $A$ är 0.226.

---

Svar sammanfattat:

• (a) Förväntat antal: 0.91
• (b) Standardavvikelse: 1.51
• (c) $P(X = 0) \approx 0.403$
• (d) $P(X \geq 2) \approx 0.226$

Vill du ha mer detaljer kring någon del? 😊

---

Vidare frågor att fundera på:

1. Hur påverkas resultaten om kursen hade haft fler deltagare, säg 1000?
2. Vad händer om sannolikheten för egenskapen $A$ var dubbelt så stor?
3. Hur skulle man använda Poisson-approximation för denna typ av problem?
4. Hur förändras sannolikheten i (c) om $p$ är ojämnt fördelat i befolkningen?
5. Hur kan man tolka standardavvikelsen i verkliga sammanhang?

Tips: Vid små $p$ och stora $n$ kan binomialfördelningen approximeras med en Poissonfördelning, vilket ofta förenklar beräkningar! 😊