Pessoas entram em uma loja a uma taxa de 1 a cada 6 minutos. Qual é a probabilidade de que pelo menos 3 pessoas entrem na loja entre 12:00 e 12:10?

Para resolver este problema, podemos usar a **distribuição de Poisson**, que é adequada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo fixo quando os eventos acontecem de forma independente e a uma taxa constante.

### Passo 1: Definir as variáveis

- A taxa média (\(\lambda\)) de pessoas entrando na loja é 1 pessoa a cada 6 minutos.
- O intervalo de tempo que estamos considerando é de 10 minutos (de 12:00 a 12:10).

Primeiro, vamos calcular a taxa média de pessoas entrando na loja em 10 minutos.

\[
\lambda = \frac{10 \text{ minutos}}{6 \text{ minutos/pessoa}} = \frac{10}{6} \approx 1.67
\]

Então, em média, \(\lambda = 1.67\) pessoas entram na loja em um intervalo de 10 minutos.

### Passo 2: Usar a Distribuição de Poisson

A função de massa de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:

\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]

onde:
- \(X\) é a variável aleatória que representa o número de pessoas que entram na loja,
- \(k\) é o número de pessoas que queremos encontrar a probabilidade,
- \(\lambda\) é a taxa média de ocorrências (neste caso, 1.67),
- \(e\) é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).

Queremos encontrar a probabilidade de que pelo menos 3 pessoas entrem na loja entre 12:00 e 12:10, ou seja, \(P(X \geq 3)\).

### Passo 3: Calcular as probabilidades relevantes

Para calcular \(P(X \geq 3)\), podemos usar a relação complementar \(P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)\). Portanto, precisamos calcular \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\) e \(P(X = 2)\).

\[
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
\]

#### Cálculo de \(P(X = 0)\):

\[
P(X = 0) = \frac{e^{-1.67} \cdot 1.67^0}{0!} = e^{-1.67}
\]

#### Cálculo de \(P(X = 1)\):

\[
P(X = 1) = \frac{e^{-1.67} \cdot 1.67^1}{1!} = e^{-1.67} \cdot 1.67
\]

#### Cálculo de \(P(X = 2)\):

\[
P(X = 2) = \frac{e^{-1.67} \cdot 1.67^2}{2!} = e^{-1.67} \cdot \frac{1.67^2}{2}
\]

### Passo 4: Realizar os cálculos

Vamos calcular essas probabilidades numericamente.

Primeiro, calculamos \(e^{-1.67}\):

\[
e^{-1.67} \approx 0.1889
\]

Agora, calculamos cada termo:

\[
P(X = 0) = 0.1889
\]

\[
P(X = 1) = 0.1889 \times 1.67 \approx 0.3153
\]

\[
P(X = 2) = 0.1889 \times \frac{1.67^2}{2} = 0.1889 \times \frac{2.7889}{2} \approx 0.2633
\]

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar \(P(X < 3)\):

\[
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
\]

\[
P(X < 3) = 0.1889 + 0.3153 + 0.2633 = 0.7675
\]

### Passo 5: Calcular \(P(X \geq 3)\)

Finalmente, calculamos \(P(X \geq 3)\):

\[
P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)
\]

\[
P(X \geq 3) = 1 - 0.7675 = 0.2325
\]

### Resposta

A probabilidade de que pelo menos 3 pessoas entrem na loja entre 12:00 e 12:10 é aproximadamente **0,2325** ou **23,25%**.

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

### Perguntas Relacionadas

1. Como a distribuição de Poisson se aplica em outras situações do mundo real?
2. Qual é a diferença entre a distribuição de Poisson e a distribuição binomial?
3. Como mudar a taxa média de entrada de pessoas afetaria a probabilidade de \(P(X \geq 3)\)?
4. Como calcular a probabilidade de exatamente 4 pessoas entrarem na loja?
5. Como usar a distribuição de Poisson para modelar eventos em intervalos de tempo variáveis?

### Dica

A distribuição de Poisson é útil para modelar eventos raros que ocorrem de maneira independente e a uma taxa constante, especialmente em intervalos de tempo fixos!

Explore the probability of at least 3 people entering a store between 12:00 and 12:10 using Poisson distribution. Learn how to apply Poisson distribution to calculate probabilities in a given time interval with a specific entry rate.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation