Для произвольных ненулевых многочленов из F [ x ] справедливо равенство d e g f / g

Рассмотрим каждое из утверждений по очереди.

1. Если многочлен с целыми коэффициентами неприводим над $\mathbb{Q}$, то он может быть приводим над $\mathbb{R}$.

Это утверждение верно. Например, многочлен $x^2 + 1$ неприводим над $\mathbb{Q}$, но он приводим над $\mathbb{R}$, так как его корни $i$ и $-i$ лежат в расширении поля $\mathbb{R}$.

2. Для произвольных ненулевых многочленов $f$ и $g$ из $F[x]$ справедливо равенство $\deg(f/g) = \deg(f) - \deg(g)$.

Это утверждение верно. Если $f$ и $g$ — многочлены из поля $F$, то степень их частного $\frac{f}{g}$ действительно равна разности степеней $f$ и $g$. Это следует из основного свойства степеней многочленов при делении.

3. Дробь $\frac{1}{x^2 - 2}$ является простейшей дробью над полем $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

Это утверждение неверно. Многочлен $x^2 - 2$ имеет корни $\pm \sqrt{2}$, которые принадлежат полю $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Таким образом, дробь $\frac{1}{x^2 - 2}$ не является простейшей, так как $x^2 - 2$ можно факторизовать в $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, и дробь будет приводимой.

4. Произведение простейших дробей никогда не является простейшей дробью.

Это утверждение неверно. Произведение двух простейших дробей, например $\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{(x - 1)(x - 2)}$, также является простейшей дробью, так как знаменатель уже не может быть дополнительно разложен на множители в поле.

Итог:

Верными являются утверждения 1 и 2.

---

Если вам нужны дополнительные объяснения или примеры, не стесняйтесь спрашивать!

Дополнительные вопросы:

1. Почему многочлен $x^2 + 1$ неприводим над $\mathbb{Q}$, но приводим над $\mathbb{R}$?
2. Что такое простейшая дробь? В чем ее отличие от неприводимой дроби?
3. Как доказать, что произведение двух многочленов с целыми коэффициентами всегда имеет степень, равную сумме их степеней?
4. Что происходит с дробями, если их числители и знаменатели можно разложить на множители в поле?
5. Как классифицируются многочлены по их степени и приводимости?

Совет: Чтобы легче разбираться в теории многочленов, полезно вспомнить важные свойства факторизации многочленов в расширениях полей.