Чтобы разложить многочлен $x^3 + 4x^2 + 3x + 12$ на множители, попробуем выполнить несколько шагов.

1. Найдем рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях.

Теорема говорит, что возможные рациональные корни многочлена $P(x) = x^3 + 4x^2 + 3x + 12$ — это делители свободного члена (12) разделённые на делители старшего коэффициента (1). То есть возможные корни могут быть: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

2. Подставим эти значения в многочлен.

Проверим, например, $x = -2$:

$P(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + 3(-2) + 12 = -8 + 16 - 6 + 12 = 0$

Таким образом, $x = -2$ является корнем.

3. Разделим многочлен на $(x + 2)$.

Теперь мы можем разделить многочлен на $x + 2$ с использованием деления многочленов или метода синтетического деления.

Процесс деления:

Многочлен $x^3 + 4x^2 + 3x + 12$ делим на $x + 2$.

При синтетическом делении получаем:

-2 & 1 & 4 & 3 & 12 \\ & & -2 & -4 & 2 \\ \hline & 1 & 2 & -1 & 0 \\ \end{array}$$ В результате деления получается многочлен $$x^2 + 2x - 1$$. ### 4. Разложим $$x^2 + 2x - 1$$. Попробуем разложить квадратное выражение $$x^2 + 2x - 1$$ на множители. Корни этого уравнения можно найти по формуле: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$$ Таким образом, $$x^2 + 2x - 1$$ не имеет целых множителей. ### 5. Итоговый результат: Многочлен можно разложить как: $$x^3 + 4x^2 + 3x + 12 = (x + 2)(x^2 + 2x - 1)$$ Если вам нужно дальнейшее разложение или дополнительные пояснения, не стесняйтесь спросить! ### Дополнительные вопросы: 1. Как найти корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта? 2. В чем отличие синтетического деления от обычного деления многочленов? 3. Какие теоремы существуют для поиска рациональных корней многочлена? 4. Как разложить квадратный трехчлен на множители, если его корни нецелые? 5. Почему важен порядок шагов при разложении многочлена? **Совет**: При делении многочленов всегда проверяйте, можно ли применить синтетическое деление для упрощения вычислений.