Untuk menentukan persamaan bidang yang melalui titik $P(1, 2, -2)$ dan memuat garis yang diberikan oleh parameter berikut:

$x = 2t, \quad y = -3 - t, \quad z = 1 + 3t$

Langkah-langkah:

1. Menentukan dua titik di garis: Kita dapat mengambil dua titik pada garis dengan dua nilai berbeda dari $t$. Misalkan $t = 0$ dan $t = 1$.

   • Saat $t = 0$, diperoleh titik $A(2, -3, 1)$.
   • Saat $t = 1$, diperoleh titik $B(4, -4, 4)$.

2. Menentukan dua vektor:

   • Vektor dari titik $P(1, 2, -2)$ ke titik $A(2, -3, 1)$: $\vec{PA} = A - P = (2 - 1, -3 - 2, 1 + 2) = (1, -5, 3)$
   • Vektor yang menunjukkan arah garis (diperoleh dari persamaan parametrik garis, yaitu vektor koefisien dari $t$): $\vec{d} = (2, -1, 3)$

3. Menghitung vektor normal bidang: Bidang yang memuat garis harus memiliki vektor normal yang ortogonal (tegak lurus) terhadap dua vektor yang ada di dalam bidang, yaitu $\vec{PA}$ dan $\vec{d}$. Maka kita dapat menggunakan perkalian silang (cross product) dari kedua vektor ini untuk mendapatkan vektor normal.

   $\vec{n} = \vec{PA} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -5 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$

   Hitung determinan matriks di atas:

   $\vec{n} = \hat{i} \left( (-5)(3) - (3)(-1) \right) - \hat{j} \left( (1)(3) - (3)(2) \right) + \hat{k} \left( (1)(-1) - (-5)(2) \right)$ $\vec{n} = \hat{i}(-15 + 3) - \hat{j}(3 - 6) + \hat{k}(-1 + 10)$ $\vec{n} = \hat{i}(-12) - \hat{j}(-3) + \hat{k}(9)$ $\vec{n} = (-12, 3, 9)$

   Jadi, vektor normal bidangnya adalah $\vec{n} = (-12, 3, 9)$.

4. Menyusun persamaan bidang: Persamaan umum bidang adalah:

   $ax + by + cz + d = 0$

   Di mana $(a, b, c)$ adalah komponen-komponen dari vektor normal $\vec{n}$, yaitu $(-12, 3, 9)$, dan $(x_1, y_1, z_1)$ adalah titik $P(1, 2, -2)$.

   Substitusi nilai ke dalam persamaan:

   $-12(x - 1) + 3(y - 2) + 9(z + 2) = 0$

   Sederhanakan:

   $-12x + 12 + 3y - 6 + 9z + 18 = 0$ $-12x + 3y + 9z + 24 = 0$ $12x - 3y - 9z = 24$

   Jadi, persamaan bidangnya adalah:

   $12x - 3y - 9z = 24$

Apakah kamu ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait yang dapat membantu memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara lain menentukan vektor normal dari bidang?
2. Apa itu vektor normal, dan mengapa penting dalam persamaan bidang?
3. Bagaimana cara menentukan persamaan bidang jika hanya diberikan titik dan satu vektor?
4. Bagaimana menerapkan metode eliminasi untuk menyelesaikan sistem parametrik seperti ini?
5. Bagaimana vektor arah berbeda dari vektor yang menghubungkan dua titik pada garis?

Tip: Dalam geometri analitik, vektor normal selalu tegak lurus terhadap bidang dan menjadi kunci untuk menyusun persamaan bidang.