Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a+3b+2c = 0. CMR phương trình 7ax^5+15bx^3+4c = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc (0, 1).

Cho ba số thực \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn điều kiện \( a + 3b + 2c = 0 \). Ta cần chứng minh rằng phương trình \( 7ax^5 + 15bx^3 + 4c = 0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( (0, 1) \).

### Bước 1: Xét hàm số liên quan
Xét hàm số \( f(x) = 7ax^5 + 15bx^3 + 4c \).

Chúng ta cần chứng minh rằng phương trình \( f(x) = 0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( (0, 1) \). Điều này tương đương với việc tìm hai điểm trên khoảng \( (0, 1) \) mà tại đó \( f(x) \) có dấu khác nhau, nhờ Định lý giá trị trung gian (Intermediate Value Theorem).

### Bước 2: Tính giá trị của \( f(0) \) và \( f(1) \)
- Tại \( x = 0 \):
  \[
  f(0) = 7a(0)^5 + 15b(0)^3 + 4c = 4c
  \]
  
- Tại \( x = 1 \):
  \[
  f(1) = 7a(1)^5 + 15b(1)^3 + 4c = 7a + 15b + 4c
  \]
  
Dùng điều kiện \( a + 3b + 2c = 0 \), ta nhân phương trình này với 2 và thu được:
\[
2a + 6b + 4c = 0
\]
Suy ra:
\[
7a + 15b + 4c = (7a + 6b + 4c) + 9b = (2a + 6b + 4c) + 5a + 9b = 5a + 9b
\]
Vậy:
\[
f(1) = 5a + 9b
\]

### Bước 3: Xét dấu của \( f(0) \) và \( f(1) \)
Ta có:
- \( f(0) = 4c \)
- \( f(1) = 5a + 9b \)

Nếu \( f(0) \) và \( f(1) \) có dấu trái ngược nhau, thì theo Định lý giá trị trung gian, phương trình \( f(x) = 0 \) sẽ có ít nhất một nghiệm trong khoảng \( (0, 1) \).

### Bước 4: Phân tích trường hợp
Từ điều kiện \( a + 3b + 2c = 0 \), ta có thể thử một số trường hợp về dấu của \( a \), \( b \), và \( c \):

- Nếu \( c > 0 \), thì \( f(0) = 4c > 0 \). Trong trường hợp này, nếu \( 5a + 9b < 0 \), thì \( f(1) < 0 \). Vậy phương trình sẽ có nghiệm trong \( (0, 1) \).
  
- Nếu \( c < 0 \), thì \( f(0) = 4c < 0 \). Trong trường hợp này, nếu \( 5a + 9b > 0 \), thì \( f(1) > 0 \). Khi đó, phương trình cũng sẽ có nghiệm trong \( (0, 1) \).

### Kết luận
Vì có các trường hợp mà \( f(0) \) và \( f(1) \) có dấu trái ngược nhau, ta có thể kết luận rằng phương trình \( 7ax^5 + 15bx^3 + 4c = 0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( (0, 1) \).

---

Bạn có cần giải thích thêm chi tiết nào không? Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để sử dụng Định lý giá trị trung gian trong các bài toán khác?
2. Điều kiện \( a + 3b + 2c = 0 \) ảnh hưởng thế nào đến phương trình?
3. Điều gì xảy ra nếu các dấu của \( a \), \( b \), \( c \) thay đổi?
4. Có cách nào khác để kiểm tra nghiệm của phương trình trong khoảng \( (0, 1) \)?
5. Định lý giá trị trung gian có thể áp dụng cho các bài toán không phải là phương trình không?

**Mẹo**: Khi giải các phương trình bậc cao, việc sử dụng định lý giá trị trung gian rất hữu ích nếu bạn có thể chứng minh được hàm số liên tục và có dấu khác nhau tại hai điểm.

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a+3b+2c = 0. Chứng minh rằng phương trình 7ax^5 + 15bx^3 + 4c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0, 1).

Chứng minh phương trình 7ax^5 + 15bx^3 + 4c = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0, 1), sử dụng Định lý giá trị trung gian và điều kiện a + 3b + 2c = 0. Bài toán này phù hợp cho học sinh lớp 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation