Neka je π . . . 3x + y − 2z − 6 = 0 ravnina, p . . .(x, y, z) =
(4t − 3, −t + 2, 3t − 4) pravac i toˇcka A = (1, 7, 1) izvan njega. Neka je
B projekcija toˇcke A na pravac p. Pronadite pravac q koji je okomit na p,
prolazi toˇckom B i leˇzi u ravnini π.
Rjeˇsenje: B(1, 1, −1), q . . .(x, y, z) = (1 − t, 1 + 17t, −1 + 7t)

Da bismo riješili ovaj zadatak, trebamo:

1. Naći projekciju točke \( A = (1, 7, 1) \) na pravac \( p \).
2. Konstruirati pravac \( q \) koji je okomit na pravac \( p \), prolazi točkom \( B \) i leži u ravnini \( \pi \).

### Korak 1: Projekcija točke A na pravac p
Pravac \( p \) je zadan parametrima:
\[
(x, y, z) = (4t - 3, -t + 2, 3t - 4)
\]
Nazovimo točke na pravcu \( p(t) = (4t - 3, -t + 2, 3t - 4) \).

Da bismo našli projekciju točke \( A \) na pravac \( p \), trebamo odrediti vrijednost parametra \( t \) za koju je vektor \( \overrightarrow{AB} \) okomit na smjer pravca \( p \). Smjer pravca \( p \) određen je smjernim vektorom \( \vec{d} = (4, -1, 3) \).

Vektor \( \overrightarrow{AP} = (4t - 4, -t - 5, 3t - 5) \) treba biti ortogonalan na \( \vec{d} \), što znači:
\[
\overrightarrow{AP} \cdot \vec{d} = 0
\]
ili:
\[
(4t - 4) \cdot 4 + (-t - 5) \cdot (-1) + (3t - 5) \cdot 3 = 0
\]
Rješavanjem ove jednadžbe dobijemo vrijednost za \( t \), a zatim i koordinate točke \( B \).

### Korak 2: Pravac q
Jednom kad dobijemo točku \( B \), trebamo naći pravac \( q \) koji je okomit na \( p \) i leži u ravnini \( \pi \).

Neka je π . . . 3x + y − 2z − 6 = 0 ravnina, p . . .(x, y, z) = (4t − 3, −t + 2, 3t − 4) pravac i toˇcka A = (1, 7, 1) izvan njega. Neka je B projekcija toˇcke A na pravac p. Pronadite pravac q koji je okomit na p, prolazi toˇckom B i leˇzi u ravnini π.

Learn how to find the perpendicular line to a given line in 3D space and a plane. This problem involves projections, line and plane equations, and the use of dot products to find orthogonality. Ideal for advanced high school students (Grades 11-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation