Zadanie dotyczy ustawienia 12 osób w kolejce, gdzie Ania i Zosia muszą stać w tej kolejce, a między nimi ma być co najmniej 3 osoby.

Krok 1: Obliczenie wszystkich możliwych ustawień

Gdyby nie było żadnych ograniczeń co do odległości między Anią i Zosią, moglibyśmy ustawić wszystkie 12 osób w kolejce na $12!$ sposobów.

$12! = 479,001,600$

Jednak, w naszym przypadku jest ograniczenie, że między Anią i Zosią musi być co najmniej 3 osoby.

Krok 2: Rozwiązanie z warunkiem

1. Najpierw wybierzmy miejsca dla Ani i Zosi w taki sposób, aby pomiędzy nimi było co najmniej 3 osoby. Możemy potraktować to jako wybieranie dwóch miejsc w 12-osobowej kolejce.

2. Zauważmy, że miejsca dla Ani i Zosi muszą być oddzielone co najmniej trzema osobami. Możemy podejść do tego, najpierw wybrać miejsce dla Ani, a potem znaleźć odpowiednie miejsce dla Zosi.

Wybór miejsca dla Ani:

Ania może stać na dowolnej z pierwszych 9 pozycji w kolejce (ponieważ jeśli Ania stałaby na pozycji 10, 11 lub 12, to nie ma możliwości, aby między nią a Zosią było co najmniej 3 osoby).

Mamy więc 9 możliwości wyboru miejsca dla Ani.

Wybór miejsca dla Zosi:

Jeśli Ania stoi na pozycji $k$, to Zosia musi stać na miejscu $k+4$ lub dalszym (czyli o co najmniej 4 pozycje dalej niż Ania). Dla każdego $k$, mamy $12 - (k + 3)$ możliwych miejsc na Zosię.

Podsumowując, mamy:

• 9 możliwości wyboru miejsca dla Ani,
• Za każdym razem możliwa liczba pozycji dla Zosi zależy od miejsca, na którym stoi Ania, ale jest to zawsze od 4 do 9 możliwości.

3. Po wybraniu miejsc dla Ani i Zosi, możemy ustawić pozostałe 10 osób na $10!$ sposobów.

Krok 3: Łączne rozwiązanie

Łączna liczba sposobów na ustawienie Ani i Zosi z co najmniej trzema osobami pomiędzy nimi to $9 \cdot 7$ możliwych wyborów miejsc, a następnie pomnożenie przez $10!$ sposobów ustawienia pozostałych osób:

$9 \times 7 \times 10! = 9 \times 7 \times 3,628,800 = 228,403,200$

Zatem liczba sposobów na ustawienie kolejki z co najmniej trzema osobami między Anią i Zosią wynosi 228,403,200.

Masz jakieś pytania lub chcesz więcej szczegółów? Oto 5 powiązanych pytań:

1. Jak zmienia się rozwiązanie, jeśli zamiast co najmniej 3 osób wymagane są co najmniej 2 osoby pomiędzy Anią i Zosią?
2. Ile byłoby możliwych ustawień, gdyby Ania i Zosia miały stać obok siebie?
3. Jakie inne metody można zastosować do rozwiązania problemu z ograniczeniami w ustawieniach osób?
4. Jak rozwiązać podobny problem, jeśli liczba osób w kolejce wynosi 15 zamiast 12?
5. Czy podobny problem można rozwiązać, jeśli kolejność ustawienia osób musi spełniać inne warunki (np. Ania zawsze przed Zosią)?

Tip: Zawsze zacznij od rozwiązania ogólnego problemu bez ograniczeń, a następnie wprowadź dodatkowe warunki, aby stopniowo rozwiązywać bardziej złożone problemy.