Точка, що здійснює коливання з амплітудою 3 м, має швидкість 4 м/с, перебуваючи на відстані 1 м від положення рівноваги. Знайти період та частоту цих коливань.

Для розв'язання цього завдання скористаємося рівняннями гармонічних коливань. Дано:

- Амплітуда коливань \( A = 3 \, \text{м} \)
- Швидкість точки \( v = 4 \, \text{м/с} \), коли вона перебуває на відстані \( x = 1 \, \text{м} \) від положення рівноваги

### Крок 1: Визначимо циклічну частоту \( \omega \)
Для гармонічних коливань швидкість точки виражається як:
\[
v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}
\]
де:
- \( v \) — миттєва швидкість точки,
- \( \omega \) — циклічна частота,
- \( A \) — амплітуда коливань,
- \( x \) — поточне зміщення від положення рівноваги.

Підставимо відомі значення і розв'яжемо рівняння для \( \omega \):
\[
4 = \omega \sqrt{3^2 - 1^2}
\]
\[
4 = \omega \sqrt{9 - 1}
\]
\[
4 = \omega \sqrt{8}
\]
\[
4 = \omega \cdot 2\sqrt{2}
\]
\[
\omega = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.41 \, \text{рад/с}
\]

### Крок 2: Знайдемо період \( T \)
Період коливань \( T \) визначається як:
\[
T = \frac{2\pi}{\omega}
\]
Підставимо знайдене значення \( \omega \):
\[
T = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \approx \frac{2 \cdot 3.1416}{1.41} \approx 4.44 \, \text{с}
\]

### Крок 3: Знайдемо частоту \( f \)
Частота \( f \) пов'язана з періодом таким співвідношенням:
\[
f = \frac{1}{T}
\]
Підставимо значення \( T \):
\[
f = \frac{1}{4.44} \approx 0.225 \, \text{Гц}
\]

### Відповідь:
- Період коливань \( T \approx 4.44 \, \text{с} \)
- Частота коливань \( f \approx 0.225 \, \text{Гц} \)

Чи хочете більше деталей або маєте запитання?

---

1. Як знайти циклічну частоту коливань у інших задачах?
2. Як впливає амплітуда на швидкість у гармонічних коливаннях?
3. Чи можна обчислити швидкість у будь-який момент часу?
4. Як знайти максимальну швидкість у гармонічних коливаннях?
5. Яка різниця між частотою та циклічною частотою?

**Порада:** Амплітуда не впливає на частоту та період коливань – вони залежать лише від властивостей системи (наприклад, жорсткості пружини або довжини маятника).

Learn how to calculate the period and frequency of simple harmonic motion given the amplitude, speed, and displacement from equilibrium. This detailed solution explains the relationship between speed, amplitude, and period in harmonic oscillations, suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation