Para resolver este problema, vamos utilizar as propriedades do Triângulo de Pascal. Cada linha do Triângulo de Pascal contém os coeficientes binomiais associados à expansão do binômio $(a + b)^n$, e os elementos de uma linha $n$ correspondem aos valores dos coeficientes binomiais $\binom{n}{k}$, onde $k$ varia de 0 a $n$.

Passo 1: Identificar a linha

Sabemos que a soma dos seis menores elementos de uma linha é igual a 1808. Consideramos que esses seis elementos são os primeiros seis elementos da linha $n$, ou seja, os valores:

$\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \binom{n}{3}, \binom{n}{4}, \binom{n}{5}$

A soma desses coeficientes é dada por:

$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4} + \binom{n}{5} = 1808$

Usando os valores para $n$, precisamos encontrar uma linha $n$ do Triângulo de Pascal onde a soma dos seis primeiros elementos seja 1808.

Passo 2: Testar valores de $n$

Verificando as somas das primeiras linhas do Triângulo de Pascal:

• Para $n = 12$: $\binom{12}{0} + \binom{12}{1} + \binom{12}{2} + \binom{12}{3} + \binom{12}{4} + \binom{12}{5} = 1 + 12 + 66 + 220 + 495 + 792 = 1586$ Não é 1808.

• Para $n = 13$: $\binom{13}{0} + \binom{13}{1} + \binom{13}{2} + \binom{13}{3} + \binom{13}{4} + \binom{13}{5} = 1 + 13 + 78 + 286 + 715 + 1287 = 1808$ Isso satisfaz a condição.

Portanto, a linha $n = 13$ é a que procuramos.

Passo 3: Determinar o terceiro elemento da linha seguinte

A linha seguinte ao $n = 13$ é a linha $n = 14$. O terceiro elemento desta linha é $\binom{14}{2}$. O valor de $\binom{14}{2}$ é dado por:

$\binom{14}{2} = \frac{14 \times 13}{2} = 91$

Resposta:

O terceiro elemento da linha seguinte é 91.

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Dúvidas ou detalhes adicionais sobre esse problema?

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1. Como calcular os elementos de qualquer linha do Triângulo de Pascal usando coeficientes binomiais?
2. Qual é a soma dos elementos da linha $n = 14$ inteira do Triângulo de Pascal?
3. Qual é a relação entre o Triângulo de Pascal e os coeficientes binomiais?
4. Como o Triângulo de Pascal está relacionado ao teorema binomial?
5. Como identificar rapidamente os valores dos coeficientes binomiais para qualquer linha $n$?

Dica: No Triângulo de Pascal, os números simétricos em torno do centro da linha são sempre iguais, ou seja, $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.