Привет! Рассмотрим данное задание. У нас есть функция:

$u = y^3 \sin(x + 3z^2) - 1$

Нужно найти частные производные $u_{xyz}^{'''}, u_{xz}^{''}$. Давайте пошагово решим каждую из этих производных.

1. Найдем $u_{xz}^{''}$:

Это означает, что нам нужно сначала взять частную производную по переменной $x$, а затем по переменной $z$.

Шаг 1: Частная производная по $x$

Функция $u$ имеет вид: $u = y^3 \sin(x + 3z^2) - 1$ Для того чтобы найти $u_x$, будем дифференцировать $u$ по $x$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

$\frac{\partial}{\partial x} \left( y^3 \sin(x + 3z^2) \right) = y^3 \cos(x + 3z^2)$ Поскольку $-1$ — это константа, её производная по $x$ равна нулю.

Итак, первая производная по $x$: $u_x = y^3 \cos(x + 3z^2)$

Шаг 2: Частная производная по $z$

Теперь найдем $u_{xz}$, взяв производную от $u_x = y^3 \cos(x + 3z^2)$ по $z$.

Для этого опять используем цепное правило: $\frac{\partial}{\partial z} \left( y^3 \cos(x + 3z^2) \right) = y^3 \cdot (-\sin(x + 3z^2)) \cdot \frac{\partial}{\partial z} (x + 3z^2)$

Так как производная от $x + 3z^2$ по $z$ равна $6z$, получаем:

$u_{xz} = -6z y^3 \sin(x + 3z^2)$

Это и есть вторая производная, $u_{xz}^{''}$.

2. Найдем $u_{xyz}^{'''}$:

Теперь нужно взять частную производную от $u_{xz}$ по переменной $y$, чтобы получить третью частную производную $u_{xyz}^{'''}$.

Шаг 1: Частная производная по $y$

Берем частную производную от $u_{xz} = -6z y^3 \sin(x + 3z^2)$ по $y$:

$\frac{\partial}{\partial y} \left( -6z y^3 \sin(x + 3z^2) \right) = -6z \cdot 3y^2 \sin(x + 3z^2)$

Итак, третья производная $u_{xyz}^{'''}$:

$u_{xyz}^{'''} = -18z y^2 \sin(x + 3z^2)$

Ответ:

$u_{xz}^{''} = -6z y^3 \sin(x + 3z^2)$ $u_{xyz}^{'''} = -18z y^2 \sin(x + 3z^2)$

Если есть дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!

---

Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как вычислить частные производные по другим переменным в более сложных функциях?
2. Что такое полный дифференциал и как его использовать для вычисления производных?
3. Как применяются частные производные в реальных задачах, например, в физике или инженерии?
4. Что такое производные высших порядков и как они используются в математическом анализе?
5. Какой метод лучше использовать для решения дифференциальных уравнений с несколькими переменными?

Совет: Научитесь четко различать, когда нужно использовать цепное правило, а когда — просто стандартные правила дифференцирования.