Для того чтобы найти частную производную $z_x'$ функции $z = y^{x^2}$ по переменной $x$, давайте рассмотрим данную функцию более детально.

Шаг 1: Перепишем функцию

Запишем $z$ в более удобной форме для дифференцирования:

$z = y^{x^2} \Rightarrow z = e^{x^2 \ln(y)}$

Теперь наша функция $z$ выражена через экспоненту, что упрощает процесс нахождения производной.

Шаг 2: Найдем частную производную $z_x'$

Чтобы найти частную производную $z$ по $x$, применим правило цепочки:

$z_x' = \frac{d}{dx} \left( e^{x^2 \ln(y)} \right) = e^{x^2 \ln(y)} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 \ln(y))$

Теперь найдем производную от выражения в показателе $x^2 \ln(y)$.

Шаг 3: Дифференцируем показатель $x^2 \ln(y)$

$\frac{d}{dx}(x^2 \ln(y)) = 2x \ln(y)$

Шаг 4: Подставляем обратно

Подставив $2x \ln(y)$ в выражение для $z_x'$, получаем:

$z_x' = e^{x^2 \ln(y)} \cdot 2x \ln(y)$

Теперь можно записать окончательный ответ:

$z_x' = y^{x^2} \cdot 2x \ln(y)$

Ответ:

$z_x' = y^{x^2} \cdot 2x \ln(y)$

Если у вас есть вопросы или вам нужно больше подробностей по шагам, дайте знать!

Вопросы:

1. Как производная функции экспоненты применяется в данном контексте?
2. Можете ли вы объяснить, почему мы переписываем $y^{x^2}$ в виде $e^{x^2 \ln(y)}$?
3. Как правило цепочки помогает в нахождении производной?
4. Почему показатель $x^2 \ln(y)$ нуждается в производной?
5. Какое влияние оказывает функция $\ln(y)$ на производную?

Советы:

При решении подобных задач переписывайте функции со сложными показателями в виде экспонент для удобного дифференцирования.