Давайте вычислим первую частную производную $z'_x$ функции $z = -3x^2y^3 + 6e^{-y\ln x} - 2x + 12$ по переменной $x$ и затем подставим точку $D(3;0)$.

Шаг 1: Находим частную производную по $x$

Функция $z$ состоит из нескольких слагаемых. Мы будем дифференцировать каждое слагаемое по $x$.

1. Частная производная от $-3x^2y^3$: $\frac{\partial}{\partial x}(-3x^2y^3) = -6xy^3$ (Здесь $y$ — это константа по отношению к $x$).

2. Частная производная от $6e^{-y\ln x}$: Для этого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции. $e^{-y\ln x} = x^{-y}$, и дифференцируем: $\frac{\partial}{\partial x} \left( 6e^{-y\ln x} \right) = 6 \cdot \left( -y \cdot x^{-y-1} \right) = -6y x^{-y-1}$

3. Частная производная от $-2x$: $\frac{\partial}{\partial x}(-2x) = -2$

4. Частная производная от константы 12: Константа при дифференцировании даёт ноль: $\frac{\partial}{\partial x}(12) = 0$

Шаг 2: Составляем полную частную производную

Теперь соберем все части вместе: $z'_x = -6xy^3 - 6y x^{-y-1} - 2$

Шаг 3: Подставляем точку $D(3,0)$

Теперь подставим $x = 3$ и $y = 0$ в выражение для $z'_x$:

• Для первого слагаемого $-6xy^3$, когда $y = 0$, оно обнуляется: $-6 \cdot 3 \cdot 0^3 = 0$
• Для второго слагаемого $-6y x^{-y-1}$, при $y = 0$ это тоже обнуляется: $-6 \cdot 0 \cdot 3^{-0-1} = 0$
• Для третьего слагаемого: $-2$

Таким образом, в точке $D(3, 0)$ значение производной равно: $z'_x = 0 + 0 - 2 = -2$

Ответ:

$z'_x (3, 0) = -2$

Ответ: $-2$.

Дополнительные вопросы:

1. Как вычислить частную производную по $y$ для этой функции?
2. Что такое частная производная и как она используется в задачах?
3. Какие существуют методы дифференцирования сложных функций?
4. Как можно вычислить частные производные для более сложных функций с несколькими переменными?
5. Почему в данном примере некоторые слагаемые обнуляются при $y = 0$?

Совет: Чтобы правильно вычислять частные производные, всегда обращайте внимание на то, какие переменные считаются независимыми, а какие — зависимыми.