Для составления параметрического уравнения прямой, проходящей через точку $A(3; a)$ и параллельной вектору $\mathbf{v}(a, b)$, можно использовать стандартное представление прямой в векторной форме:

$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r_0} + t\mathbf{v},$ где $\mathbf{r_0}$ — радиус-вектор точки $A$, а $\mathbf{v}$ — направляющий вектор прямой.

Решение:

1. Радиус-вектор точки $A(3; a)$: $\mathbf{r_0} = (3, a).$

2. Направляющий вектор: $\mathbf{v} = (a, b).$

3. Параметрическое уравнение прямой: $\mathbf{r}(t) = (3, a) + t(a, b),$ что можно записать в координатной форме:

   x = 3 + ta, \\ y = a + tb, \end{cases}$$

где $t$ — параметр.

---

Если нужно дополнительно упростить или пояснить решение, уточните!

Вопросы для размышления:

1. Как записать каноническое уравнение прямой, если известны точка и направляющий вектор?
2. Что произойдет с уравнением прямой, если $a = 0$ или $b = 0$?
3. Как проверить принадлежность произвольной точки данной прямой?
4. Как преобразовать параметрическое уравнение в общее уравнение прямой?
5. Какие свойства прямой можно определить, исходя из ее параметрического уравнения?

Совет: всегда проверяйте, чтобы направляющий вектор не был нулевым ($\mathbf{v} \neq (0, 0)$), иначе прямая не определена!