За да определим стойностите на параметъра $a$, при които произведението на многочлените $(x^2 + ax^3 + 3)(x^3 + x + 5)$ не съдържа член с $x^3$, трябва да анализираме произведението и да се уверим, че коефициентът на $x^3$ е равен на нула.

Нека разпишем произведението:

$(x^2 + ax^3 + 3)(x^3 + x + 5) = x^2(x^3 + x + 5) + ax^3(x^3 + x + 5) + 3(x^3 + x + 5)$

Сега разглеждаме отделните членове, които ще допринесат за $x^3$:

1. От $x^2(x^3 + x + 5)$ получаваме $x^5 + x^3 + 5x^2$ – приносът за $x^3$ е $1$.
2. От $ax^3(x^3 + x + 5)$ получаваме $ax^6 + ax^4 + 5ax^3$ – приносът за $x^3$ е $5a$.
3. От $3(x^3 + x + 5)$ получаваме $3x^3 + 3x + 15$ – приносът за $x^3$ е $3$.

Сега можем да съберем приносите за $x^3$:

$1 + 5a + 3$

Трябва да зададем уравнението:

$1 + 5a + 3 = 0$

Решаваме за $a$:

$5a + 4 = 0 \implies 5a = -4 \implies a = -\frac{4}{5}$

Следователно, стойността на параметъра $a$, при която многочленът не съдържа $x^3$, е:

$a = -\frac{4}{5}$

Ако имате нужда от допълнителни разяснения или имате въпроси, не се колебайте да питате!

Допълнителни въпроси:

1. Какви други членове бихме могли да анализираме в произведението?
2. Как се променя многочленът, ако $a$ приема различни стойности?
3. Какви са другите произведения на подобни многочлени?
4. Как можем да проверим дали произведението съдържа членове с различна степен?
5. Каква е геометричната интерпретация на този многочлен?

Съвет:

При работа с многочлени, винаги е полезно да запишете всеки термин и неговия принос, за да не пропуснете важни детайли.