За кои стойности на параметъра a многочленът (x^2 + ax^3 + 3)(x^3 + x +5) не съдържа x^3

За да определим стойностите на параметъра \( a \), при които произведението на многочлените \( (x^2 + ax^3 + 3)(x^3 + x + 5) \) не съдържа член с \( x^3 \), трябва да анализираме произведението и да се уверим, че коефициентът на \( x^3 \) е равен на нула.

Нека разпишем произведението:

\[
(x^2 + ax^3 + 3)(x^3 + x + 5) = x^2(x^3 + x + 5) + ax^3(x^3 + x + 5) + 3(x^3 + x + 5)
\]

Сега разглеждаме отделните членове, които ще допринесат за \( x^3 \):

1. От \( x^2(x^3 + x + 5) \) получаваме \( x^5 + x^3 + 5x^2 \) – приносът за \( x^3 \) е \( 1 \).
2. От \( ax^3(x^3 + x + 5) \) получаваме \( ax^6 + ax^4 + 5ax^3 \) – приносът за \( x^3 \) е \( 5a \).
3. От \( 3(x^3 + x + 5) \) получаваме \( 3x^3 + 3x + 15 \) – приносът за \( x^3 \) е \( 3 \).

Сега можем да съберем приносите за \( x^3 \):

\[
1 + 5a + 3
\]

Трябва да зададем уравнението:

\[
1 + 5a + 3 = 0
\]

Решаваме за \( a \):

\[
5a + 4 = 0 \implies 5a = -4 \implies a = -\frac{4}{5}
\]

Следователно, стойността на параметъра \( a \), при която многочленът не съдържа \( x^3 \), е:

\[
a = -\frac{4}{5}
\]

Ако имате нужда от допълнителни разяснения или имате въпроси, не се колебайте да питате!

### Допълнителни въпроси:
1. Какви други членове бихме могли да анализираме в произведението?
2. Как се променя многочленът, ако \( a \) приема различни стойности?
3. Какви са другите произведения на подобни многочлени?
4. Как можем да проверим дали произведението съдържа членове с различна степен?
5. Каква е геометричната интерпретация на този многочлен?

### Съвет:
При работа с многочлени, винаги е полезно да запишете всеки термин и неговия принос, за да не пропуснете важни детайли.

За кои стойности на параметъра a многочленът (x^2 + ax^3 + 3)(x^3 + x + 5) не съдържа x^3?

Explore how to determine the values of parameter a for which the polynomial (x^2 + ax^3 + 3)(x^3 + x + 5) has no x^3 term. This solution includes coefficient analysis and polynomial algebra, ideal for high school students (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation