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Quiero que me ayudes con lo siguiente que esta en la foto son ejercicios de matematicas, Resuélvelo de la forma correcta de manera detallado todo el procedimiento paso a paso, y explica de donde sale cada cosa y tambien menciona las fórmulas a ocupar bien estructurado todo. de una manera mucho más facil y más corto rapido de resolver. que sea un metodo mucho más facil sencilla y rapida de solucionar, claro su respuesta correcta.

Vamos a resolver el problema paso a paso, teniendo en cuenta que la ecuación de la parábola es:

\[
y^2 = -24x
\]

Esta es una parábola horizontal, con vértice en el origen \((0, 0)\), porque no tiene términos lineales. Ahora, analizaremos cómo se obtiene cada uno de los datos solicitados:

### 1. **Ecuación estándar de la parábola**:

La ecuación estándar para una parábola horizontal es:

\[
y^2 = 4px
\]

Donde \( p \) es la distancia entre el vértice y el foco (o el vértice y la directriz, solo que en direcciones opuestas). Comparando la ecuación dada \( y^2 = -24x \) con \( y^2 = 4px \), podemos ver que:

\[
4p = -24
\]

Por lo tanto, resolvemos para \( p \):

\[
p = \frac{-24}{4} = -6
\]

Esto nos dice que el foco está a 6 unidades a la izquierda del vértice porque \( p \) es negativo.

### a) **Distancia entre la directriz y el foco**:

La distancia entre la directriz y el foco es **2p**, ya que el foco está a \( p \) unidades a la izquierda del vértice y la directriz a \( p \) unidades a la derecha del vértice. Entonces:

\[
\text{Distancia entre la directriz y el foco} = 2|p| = 2(6) = 12
\]

### b) **Distancia entre la directriz y el vértice**:

La directriz de la parábola se encuentra a una distancia \( |p| \) del vértice. Como \( p = -6 \), la distancia es:

\[
\text{Distancia entre la directriz y el vértice} = |p| = 6
\]

### c) **Longitud del lado recto**:

El lado recto es una línea que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría de la parábola. La longitud del lado recto para una parábola es \( 4|p| \). Entonces, dado que \( p = -6 \):

\[
\text{Longitud del lado recto} = 4|p| = 4(6) = 24
\]

### d) **Abertura de la parábola**:

La abertura de la parábola está relacionada con el valor absoluto de \( p \). Cuanto más grande es \( |p| \), más "abierta" es la parábola. No hay una medida numérica directa para la "abertura" a menos que se refiera al ángulo o a la curvatura, pero podemos decir que \( p = -6 \) indica que la parábola está moderadamente abierta.

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### Resumen de respuestas:

- **a)** La distancia entre la directriz y el foco es **12**.
- **b)** La distancia entre la directriz y el vértice es **6**.
- **c)** La longitud del lado recto es **24**.
- **d)** La abertura de la parábola depende de \( p = -6 \), que muestra una abertura moderada.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo se derivan las fórmulas estándar de las parábolas?
2. ¿Cómo afecta el signo de \( p \) a la orientación de la parábola?
3. ¿Qué sucede si cambiamos los valores de \( p \) en la ecuación?
4. ¿Cómo se grafica una parábola usando los valores de \( p \), foco, y directriz?
5. ¿Cómo interpretar la longitud del lado recto en diferentes tipos de parábolas?

**Tip**: Siempre compara tu ecuación con la forma estándar para extraer fácilmente el valor de \( p \) y resolver rápidamente el problema.

Dada la parábola de ecuación y^2 = -24x. Indica: a) la distancia entre la directriz y el foco; b) la distancia entre la directriz y el vértice; c) la longitud del lado recto; d) la abertura de la parábola.

Solve the parabola equation y^2 = -24x by finding the distance between the directrix and focus, the vertex, and the length of the latus rectum. Learn how to calculate the focal length and analyze the parabola's opening. Ideal for students in grades 9-12 studying conic sections.

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