Mari kita telaah langkah-langkah yang ada pada gambar tersebut untuk menjelaskan kondisi agar dua lingkaran ortogonal.

Definisi Lingkaran Ortogonal

Berdasarkan definisi 5.2.1:

• Dua lingkaran disebut ortogonal jika garis singgung pada titik potongnya membentuk sudut siku-siku.

Kita diminta menemukan kondisi agar dua lingkaran berikut ortogonal:

• Lingkaran pertama $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
• Lingkaran kedua $S_1 = x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$

Pusat dan Jari-Jari

Diberikan bahwa pusat lingkaran pertama ada di $A(-g, -f)$ dan pusat lingkaran kedua ada di $B(-g_1, -f_1)$.

Jari-jari lingkaran-lingkaran tersebut:

• Untuk lingkaran pertama: $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$
• Untuk lingkaran kedua: $r_2 = \sqrt{g_1^2 + f_1^2 - c_1}$

Hubungan Ortogonal

Karena lingkaran-lingkaran tersebut ortogonal, maka sudut di antara dua jari-jari yang menghubungkan pusat lingkaran ke titik potong $P$ adalah 90 derajat. Ini berarti segitiga $\triangle APB$ adalah segitiga siku-siku di $P$.

Berdasarkan teorema Pythagoras di $\triangle APB$, kita punya: $AB^2 = PA^2 + PB^2$ Ini adalah inti dari hubungan ortogonal lingkaran, di mana panjang $AB$ dihasilkan dari penjumlahan kuadrat $PA$ dan $PB$.

Proses Aljabar

• Persamaan $AB^2 = PA^2 + PB^2$ dihitung berdasarkan koordinat pusat A dan B serta titik P yang merupakan titik potong.
• Koordinat pusat lingkaran pertama adalah $(-g, -f)$ dan pusat lingkaran kedua $(-g_1, -f_1)$.
• Jari-jari pertama $r_1$ adalah $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$, dan jari-jari kedua $r_2$ adalah $\sqrt{g_1^2 + f_1^2 - c_1}$.

Kita bisa menghitung $AB^2$ sebagai jarak antara pusat dua lingkaran: $AB^2 = (g - g_1)^2 + (f - f_1)^2$

Kemudian, kita substitusi dengan panjang $PA$ dan $PB$ yang melibatkan jari-jari dari kedua lingkaran: $PA^2 = r_1^2 = g^2 + f^2 - c$ $PB^2 = r_2^2 = g_1^2 + f_1^2 - c_1$

Sehingga, persamaan menjadi: $(g - g_1)^2 + (f - f_1)^2 = (g^2 + f^2 - c) + (g_1^2 + f_1^2 - c_1)$

Penyederhanaan

Dari langkah-langkah aljabar, setelah menyederhanakan ekspresi di atas, kita akan mendapatkan persamaan berikut sebagai kondisi untuk dua lingkaran tersebut ortogonal: $2gg_1 + 2ff_1 = c + c_1$

Kesimpulan

Kondisi dua lingkaran ortogonal adalah ketika jumlah hasil kali koordinat pusat $x$ dan $y$ ditambah dengan jumlah konstanta lingkaran pertama dan kedua harus bernilai nol. Ini ditunjukkan dengan persamaan: $2gg_1 + 2ff_1 = c + c_1$

Apakah penjelasan ini jelas, atau ada bagian yang ingin diperjelas lebih lanjut?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menemukan titik potong dari dua lingkaran?
2. Bagaimana cara menentukan apakah dua lingkaran beririsan atau tidak?
3. Apa hubungan antara ortogonalitas lingkaran dan teorema Pythagoras?
4. Apakah dua lingkaran yang tidak beririsan bisa ortogonal?
5. Bagaimana menentukan jari-jari lingkaran yang diberikan persamaan umum?

Tip: Saat dua lingkaran ortogonal, hubungan antara garis singgung di titik potong akan membentuk sudut siku-siku, sehingga teorema Pythagoras dapat digunakan.