Voici comment aborder ce problème de fabrication de boîtes de rangement sans couvercle :

1. Démonstration de l'expression de l'aire $A(z)$

On considère un parallélépipède rectangle sans couvercle avec :

• une hauteur $h = 16 \, \text{cm}$,
• une base de dimensions $x$ et $y$ (exprimées en cm),
• un volume de $V = 10 \, 000 \, \text{cm}^3$.

Le volume $V$ est donné par : $V = x \times y \times h = 10 \, 000 \, \text{cm}^3.$ Sachant que $h = 16$, cela donne : $x \times y = \frac{10 \, 000}{16} = 625.$ On a donc $x \times y = 625$.

L'aire totale $A$ de la boîte sans couvercle est la somme des aires des cinq faces (deux faces de hauteur $16$ et largeur $x$, deux faces de hauteur $16$ et largeur $y$, et une face de base $x \times y$) : $A(x, y) = 2 \times 16 \times x + 2 \times 16 \times y + x \times y.$ En simplifiant : $A(x, y) = 32x + 32y + xy.$

Comme on a la relation $xy = 625$, on peut exprimer $y$ en fonction de $x$ : $y = \frac{625}{x}.$ On substitue cette expression de $y$ dans la formule de l'aire $A(x, y)$ : $A(x) = 32x + 32 \times \frac{625}{x} + x \times \frac{625}{x}.$ Cela donne : $A(x) = 32x + \frac{20 \, 000}{x} + 625.$

2. Représentation graphique de la fonction $A(x)$

Pour représenter graphiquement $A(x)$ sur l'intervalle $0 < x < 40$, on utilise l'expression trouvée : $A(x) = 32x + \frac{20 \, 000}{x} + 625.$ La fonction peut être tracée à l'aide d'un logiciel ou d'une feuille millimétrée. Visuellement, on pourra observer que la fonction atteint un minimum pour une certaine valeur de $x$.

3. Trouver algébriquement le minimum de la fonction $A(x)$

Pour trouver le minimum algébriquement, on dérive la fonction $A(x)$ et on cherche quand la dérivée est égale à 0.

La fonction à minimiser est : $A(x) = 32x + \frac{20 \, 000}{x} + 625.$

Sa dérivée $A'(x)$ est : $A'(x) = 32 - \frac{20 \, 000}{x^2}.$ On résout $A'(x) = 0$ : $32 - \frac{20 \, 000}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 32x^2 = 20 \, 000 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{20 \, 000}{32} = 625.$ En prenant la racine carrée : $x = 25.$

4. Déduction des dimensions optimales de la boîte

Puisque $x = 25$, on peut déterminer $y$ en utilisant $xy = 625$ : $y = \frac{625}{x} = \frac{625}{25} = 25.$

Donc, les dimensions de la boîte minimisant l'aire totale sont :

• $x = 25 \, \text{cm}$,
• $y = 25 \, \text{cm}$,
• $h = 16 \, \text{cm}$.

Ainsi, pour minimiser l'aire de la boîte, elle doit avoir une base carrée de $25 \, \text{cm} \times 25 \, \text{cm}$.

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici 5 questions relatives pour approfondir :

1. Pourquoi la dérivée permet-elle de trouver le minimum d'une fonction ?
2. Quelle est l'importance de fixer $h = 16 \, \text{cm}$ dans le calcul ?
3. Peut-on utiliser d'autres méthodes pour résoudre l'optimisation d'une surface ?
4. Comment interpréter les résultats graphiques pour vérifier le minimum ?
5. Quels sont d'autres exemples d'optimisation de volume avec des contraintes similaires ?

Astuce : Pour minimiser une fonction, cherchez les points où sa dérivée s'annule et examinez la concavité pour confirmer s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.