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On souhaite fabriquer des boîtes de rangement sans couvercle. Les boîtes auront la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur 16 cm et de base un rectangle ayant pour dimensions x et y exprimées en cm. Chaque boîte a un volume de 10 000 cm³.

1. Pour toute valeur de x > 0, on note A(z) l'aire du parallélépipède rectangle. Démontrer que pour tout > 0, ona:

20 000

A(z) = +32+625.

2. Sur une feuille de papier millimétré, représenter la fonction A pour 0<< 40 et trouver pour quelle valeur de z elle semble atteindre un minimum;

3. Trouver algébriquement le minimum de la fonction A et en quelle valeur de z il est atteint;

4. En déduire quelles dimensions l'on doit donner à ces boîtes pour que leur surface ait une aire minimale.

Voici comment aborder ce problème de fabrication de boîtes de rangement sans couvercle :

### 1. Démonstration de l'expression de l'aire \( A(z) \)

On considère un parallélépipède rectangle sans couvercle avec :
- une hauteur \( h = 16 \, \text{cm} \),
- une base de dimensions \( x \) et \( y \) (exprimées en cm),
- un volume de \( V = 10 \, 000 \, \text{cm}^3 \).

Le volume \( V \) est donné par :
\[
V = x \times y \times h = 10 \, 000 \, \text{cm}^3.
\]
Sachant que \( h = 16 \), cela donne :
\[
x \times y = \frac{10 \, 000}{16} = 625.
\]
On a donc \( x \times y = 625 \).

L'aire totale \( A \) de la boîte sans couvercle est la somme des aires des cinq faces (deux faces de hauteur \( 16 \) et largeur \( x \), deux faces de hauteur \( 16 \) et largeur \( y \), et une face de base \( x \times y \)) :
\[
A(x, y) = 2 \times 16 \times x + 2 \times 16 \times y + x \times y.
\]
En simplifiant :
\[
A(x, y) = 32x + 32y + xy.
\]

Comme on a la relation \( xy = 625 \), on peut exprimer \( y \) en fonction de \( x \) :
\[
y = \frac{625}{x}.
\]
On substitue cette expression de \( y \) dans la formule de l'aire \( A(x, y) \) :
\[
A(x) = 32x + 32 \times \frac{625}{x} + x \times \frac{625}{x}.
\]
Cela donne :
\[
A(x) = 32x + \frac{20 \, 000}{x} + 625.
\]

### 2. Représentation graphique de la fonction \( A(x) \)

Pour représenter graphiquement \( A(x) \) sur l'intervalle \( 0 < x < 40 \), on utilise l'expression trouvée :
\[
A(x) = 32x + \frac{20 \, 000}{x} + 625.
\]
La fonction peut être tracée à l'aide d'un logiciel ou d'une feuille millimétrée. Visuellement, on pourra observer que la fonction atteint un minimum pour une certaine valeur de \( x \).

### 3. Trouver algébriquement le minimum de la fonction \( A(x) \)

Pour trouver le minimum algébriquement, on dérive la fonction \( A(x) \) et on cherche quand la dérivée est égale à 0.

La fonction à minimiser est :
\[
A(x) = 32x + \frac{20 \, 000}{x} + 625.
\]

Sa dérivée \( A'(x) \) est :
\[
A'(x) = 32 - \frac{20 \, 000}{x^2}.
\]
On résout \( A'(x) = 0 \) :
\[
32 - \frac{20 \, 000}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 32x^2 = 20 \, 000 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{20 \, 000}{32} = 625.
\]
En prenant la racine carrée :
\[
x = 25.
\]

### 4. Déduction des dimensions optimales de la boîte

Puisque \( x = 25 \), on peut déterminer \( y \) en utilisant \( xy = 625 \) :
\[
y = \frac{625}{x} = \frac{625}{25} = 25.
\]

Donc, les dimensions de la boîte minimisant l'aire totale sont :
- \( x = 25 \, \text{cm} \),
- \( y = 25 \, \text{cm} \),
- \( h = 16 \, \text{cm} \).

Ainsi, pour minimiser l'aire de la boîte, elle doit avoir une base carrée de \( 25 \, \text{cm} \times 25 \, \text{cm} \).

---

**Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?**

Voici 5 questions relatives pour approfondir :
1. Pourquoi la dérivée permet-elle de trouver le minimum d'une fonction ?
2. Quelle est l'importance de fixer \( h = 16 \, \text{cm} \) dans le calcul ?
3. Peut-on utiliser d'autres méthodes pour résoudre l'optimisation d'une surface ?
4. Comment interpréter les résultats graphiques pour vérifier le minimum ?
5. Quels sont d'autres exemples d'optimisation de volume avec des contraintes similaires ?

**Astuce** : Pour minimiser une fonction, cherchez les points où sa dérivée s'annule et examinez la concavité pour confirmer s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.

On souhaite fabriquer des boîtes de rangement sans couvercle. Les boîtes auront la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur 16 cm et de base un rectangle ayant pour dimensions x et y exprimées en cm. Chaque boîte a un volume de 10 000 cm³.

1. Pour toute valeur de x > 0, on note A(z) l'aire du parallélépipède rectangle. Démontrer que pour tout > 0, ona:

A(z) = 32x + 32(625/x) + 625.

2. Représenter graphiquement la fonction A(x) pour 0 < x < 40 et trouver pour quelle valeur de x elle semble atteindre un minimum.

3. Trouver algébriquement le minimum de la fonction A(x) et en quelle valeur de x il est atteint.

4. Déduire quelles dimensions l'on doit donner à ces boîtes pour que leur surface ait une aire minimale.

Explore how to find the dimensions that minimize the surface area of a box without a lid using calculus. This problem covers geometric concepts, volume and surface area formulas, and optimization techniques through differentiation. Suitable for Grades 10-12.

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