Для того чтобы найти оптимальное количество труда, давайте рассмотрим задачу более детально.

Шаг 1: Обозначения и переменные

• $C$ — потребление (средства, которые работник использует для покупки товаров и услуг).
• $F$ — свободное время, которое работник проводит вне работы.
• $U = C^{3/5} F^{2/5}$ — функция полезности.
• Рабочий располагает 30 часами. Это означает, что общее время, которое он может потратить на работу и свободное время, равно 30 часам. Если $L$ — количество времени, которое он работает, то $F = 30 - L$.
• $w = 5$ — заработная плата за час работы.
• Потребление $C$ зависит от заработка: $C = w \cdot L$, где $L$ — количество часов, отработанных работником.

Шаг 2: Подставим выражения в функцию полезности

Потребление $C = 5L$, и свободное время $F = 30 - L$. Подставим это в функцию полезности:

$U(L) = (5L)^{3/5} \cdot (30 - L)^{2/5}$

Шаг 3: Оптимизация

Для нахождения оптимального количества труда $L$, нам нужно максимизировать полезность $U(L)$ по $L$. Для этого найдем производную $U'(L)$ и приравняем её к нулю:

$U'(L) = \frac{d}{dL} \left( (5L)^{3/5} (30 - L)^{2/5} \right)$

Используем правило произведения для производной. Далее, чтобы решить это уравнение, будет удобно применить логарифмическое дифференцирование, или решать с помощью численных методов.

Тем не менее, поочередно вычислив производные, мы получим оптимальное значение для $L$.

Шаг 4: Решение уравнения

Давайте вычислим оптимальное количество труда через численные методы, используя уравнение для производной.

Примерно решение указывает, что оптимальное количество труда для этого рабочего будет около 18 часов.

Ответ:

Оптимальное количество труда $L$ для данного рабочего составляет примерно 18 часов.

Хотите узнать больше о том, как рассчитывается максимизация полезности? Или хотите пройти через другие примеры с похожими задачами?