Diketahui:

• Fungsi permintaan: $p = 500 - 0,1q$
• Fungsi biaya total: $TC = 0,02q^3 - 0,3q^2 + 20q + 10.000$
• Keuntungan: $\pi = TR - TC$, dengan total pendapatan $TR = p \cdot q$.

(a) Menentukan $q$ agar keuntungan maksimum

Keuntungan dinyatakan sebagai:
$\pi(q) = TR - TC$
Total pendapatan:
$TR = p \cdot q = (500 - 0,1q)q = 500q - 0,1q^2$
Sehingga keuntungan:
$\pi(q) = (500q - 0,1q^2) - (0,02q^3 - 0,3q^2 + 20q + 10.000)$
$\pi(q) = -0,02q^3 + 0,2q^2 + 480q - 10.000$

Untuk mencari $q$ yang memaksimumkan keuntungan, turunkan $\pi(q)$ terhadap $q$ dan setel sama dengan nol:
$\pi'(q) = -0,06q^2 + 0,4q + 480 = 0$
Menyelesaikan persamaan ini akan memberikan nilai $q$ optimal.

(b) Menentukan besar keuntungan maksimum

Substitusi $q$ maksimum ke $\pi(q)$ untuk mendapatkan keuntungan maksimum.

(c) Menentukan harga jual saat keuntungan maksimum

Substitusi $q$ maksimum ke fungsi permintaan $p = 500 - 0,1q$ untuk mendapatkan harga jual optimal.

Saya akan menghitungnya sekarang. sympy import symbols, Eq, solve

Definisi variabel

q = symbols('q')

Fungsi turunan keuntungan

profit_derivative = -0.06q**2 + 0.4q + 480

Mencari nilai q yang membuat turunan nol (maksimum/minimum keuntungan)

q_optimal = solve(Eq(profit_derivative, 0), q) q_optimalDiperoleh dua nilai kritis untuk $q$, yaitu $q \approx -86.17$ dan $q \approx 92.84$. Karena jumlah produksi tidak mungkin negatif, maka $q$ yang memaksimumkan keuntungan adalah 92.84 (dibulatkan ke 93 untuk nilai bulat dalam konteks produksi).

Sekarang, saya akan menghitung keuntungan maksimum dan harga jual pada $q = 93$. Memilih q optimal yang positif q_max = round(92.84) # Dibulatkan ke bilangan bulat

Fungsi keuntungan

profit_function = -0.02q**3 + 0.2q**2 + 480*q - 10000

Menghitung keuntungan maksimum

profit_max = profit_function.subs(q, q_max)

Menghitung harga jual saat q = q_max

price_function = 500 - 0.1*q price_max = price_function.subs(q, q_max)

profit_max, price_max### Hasil Perhitungan
(a) Nilai $q$ agar keuntungan maksimum: 93 unit
(b) Besar keuntungan maksimum: Rp 20.282.660 (atau sekitar 20,28 juta rupiah)
(c) Harga jual saat keuntungan maksimum: Rp 490,70 ribu per unit

Apakah perlu penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut beberapa pertanyaan terkait yang bisa dieksplorasi:

1. Bagaimana jika biaya tetap berubah?
2. Bagaimana dampak elastisitas harga terhadap keuntungan?
3. Bagaimana menentukan titik impas dari fungsi ini?
4. Bagaimana jika pajak dikenakan pada setiap unit yang terjual?
5. Bagaimana perbedaan keuntungan jika jumlah produksi dikurangi atau ditingkatkan?

Tip: Dalam optimasi ekonomi, selalu cek turunan kedua untuk memastikan titik tersebut adalah maksimum, bukan minimum! 🚀